Areal under graf med programmering

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x)=\frac{1}{9}(x+1)(x-6)^2

Areal under grafen til f

Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som er avgrenset av $x$ -aksen, $y$ -aksen og grafen til $f$ .

Hun vil gjøre dette ved å legge sammen arealene av små rektangler. Hun begynner som vist på figur 2 og figur 3 nedenfor og vil så øke antall rektangler for å få en bedre tilnærming.

Arealet under grafen tilnærmet med 6 rektangler

Arealet under grafen tilnærmet med 12 rektangler

Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2

Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor.

def f(x):
    return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2   # Definerer funksjonen

x_min = 0                                   # Startverdi for x
x_maks = 6                                  # Sluttverdi for x

n = 6000                                    # antall rektangler

bredde =                                    # bredden av hvert rektangel

Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.

Fasit

$\frac{196}{9}$

Se LF

20,002

Løsningsforslag

Jeg ser at alle rektanglene har bredde 1. Arealet av hvert rektangel er derfor $A_{\square}=h\cdot b=h\cdot 1=h$ . Høyden til rektangelet er gitt ved $f(x)=\frac{1}{9}(x+1)(x-6)^2$ hvor $x\in \left\{ 0, 1, 2 , 3, 4, 5 \right\}$ .

Jeg legger sammen funksjonsverdiene i CAS og finner at det samlede arealet er

A=\underline{\underline{\frac{196}{9}}}

def f(x):
    return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2   # Definerer funksjonen

x_min = 0                                   # Startverdi for x
x_maks = 6                                  # Sluttverdi for x

n = 6000                                    # antall rektangler

bredde = (x_maks - x_min) / n               # bredden av hvert rektangel

x = x_min                                   # vi starter med å finne
                                            # f(x) ved f(x_min)
areal = 0                                   # lager en variabel som summerer
                                            # arealet
for i in range(n):
    areal_rektangel = bredde * f(x)         # beregener arealet til rektangelet
    areal = areal + areal_rektangel         # summerer arealet av rektangelet
                                            # og det totale arealet
    x = x + bredde                          # flytter x-verdien bortover langs
                                            # x-aksen tilsvarende bredde av rekt
print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.3f}")

Alternativ løsning med lister

Denne løsningen er omtrent 3 ganger så kjapp og bruker lister istedenfor en løkke (men den krever også numpy biblioteket).

import numpy as np
def f(x):
   return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2 # Definerer funksjonen

x_min = 0                           # Startverdi for x
x_maks = 6                          # Sluttverdi for x

n = 6000                            # antall rektangler

bredde = (x_maks - x_min) / n       # bredden av hvert rektangel

x = np.linspace(x_min, x_maks, n+1) # lager array med x-verdier
y = f(x)                            # regner ut funksjonsverdien
                                    # f(x) for hver x
areal = sum(f(x)*bredde)            # multipliserer bredde med høyde
  								   # og summerer til slutt
print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.3f}")

Bruker programmet jeg lagde i 4b. Det gir utskriften Arealet av rektanglene er 20.002.

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som lager en delvis riktig kode, får noe uttelling.

Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

En kandidat som har løst oppgaven riktig, men ikke brukt programmet sitt fra oppgave b), får full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: programmering, integral, funksjoner, utforskning, numerisk integrasjon
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar