Vi tegner grafen til $f(x)=8e^{-x}\cdot \sin 2x$ på $⟨0,\pi ⟩$ i GeoGebra.

Nullpunkt. $f(x)=0$ når $\sin 2x=0$, altså $2x=k\pi$. På det åpne intervallet $⟨0,\pi ⟩$ gir dette kun

Topp- og bunnpunkt. Vi deriverer med produktregelen:

GeoGebra CAS gir $f^{\prime }(x)=0$ for

På $⟨0,\pi ⟩$ gir dette to løsninger, $x\approx \mathrm{0,554}$ (toppunkt, $k=0$) og $x\approx \mathrm{2,124}$ (bunnpunkt, $k=1$). Innsatt i $f$:

Siden fortegnet til $f^{\prime }$ skifter fra pluss til minus i $x\approx \mathrm{0,554}$, er dette et toppunkt: $(\mathrm{0,554},\mathrm{4,114})$. Tilsvarende skifter $f^{\prime }$ fra minus til pluss i $x\approx \mathrm{2,124}$, som derfor er et bunnpunkt: $(\mathrm{2,124},-\mathrm{0,855})$.

Vendepunkter. Vi deriverer én gang til:

GeoGebra CAS gir $f^{\prime \prime }(x)=0$ for

På $⟨0,\pi ⟩$ gir dette $x\approx \mathrm{1,107}$ ($k=1$) og $x\approx \mathrm{2,678}$ ($k=2$), der $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn. Vendepunktene er dermed

Formelen gjelder for $\int e^{ax}\cdot \sin bx\mathrm{d}x$. Her er $f(x)=8e^{-x}\sin 2x$, altså $a=-1$ og $b=2$:

Vi kontrollerer i GeoGebra CAS ved å definere $F(x)=-{\displaystyle \frac{8}{5}}{e}^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)$ og derivere:

Derivasjon av $F(x)$ gir $8e^{-x}\sin 2x=f(x)$, som stemmer. Dermed er

Fra a) vet vi at $f(x)>0$ på $⟨0,\frac{\pi }{2}⟩$ og $f(x)<0$ på $⟨\frac{\pi }{2},\pi ⟩$. Det samlede arealet finner vi ved å summere absoluttverdiene av de to delintegralene:

Vi beregner de to bestemte integralene i GeoGebra CAS:

Dette gir $I_1\approx \mathrm{3,865}$ og $I_2\approx -\mathrm{0,803}$. Det samlede arealet blir

$\underline{\underline{A\approx \mathrm{4,67}}}$