Areal og omdreiningslegeme R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 1 - x^{2}

Et flatestykke er avgrenset av $x$ -aksen og grafen til $f$ .

Bestem arealet av flatestykket.

Vi får et omdreiningslegeme ved å dreie flatestykket $360 °$ om x-aksen.

Bestem volumet av omdreiningslegemet.

Fasit

$A = \frac{4}{3}$

$V = \frac{16 π}{15}$

LøsningsforslagKI-generert

Flatestykket er avgrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen. Vi finner først nullpunktene til $f$ :

f (x) = 1 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = - 1 \lor x = 1

Mellom $x = - 1$ og $x = 1$ er $f (x) \geq 0$ , så arealet blir

A = \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = {[x - \frac{x^{3}}{3}]}_{- 1}^{1}

A = (1 - \frac{1}{3}) - (- 1 - (- \frac{1}{3})) = \frac{2}{3} - (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3}

$A = \frac{4}{3}$

Volumet av omdreiningslegemet som oppstår når flatestykket dreies $360 °$ om $x$ -aksen, er gitt ved

V = π \int_{- 1}^{1} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x

Vi utvider kvadratet:

{(1 - x^{2})}^{2} = 1 - 2 x^{2} + x^{4}

V = π \int_{- 1}^{1} (1 - 2 x^{2} + x^{4}) d x = π {[x - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5}]}_{- 1}^{1}

V = π [(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) - (- 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5})] = π (\frac{8}{15} + \frac{8}{15}) = \frac{16 π}{15}

$V = \frac{16 π}{15}$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum

Innstillinger