Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} - x

Et flatestykke $F$ er avgrenset av grafen til $f$ og x-aksen.

Bestem arealet av flatestykket $F$ .

Vi dreier flatestykket $360 °$ om x-aksen og får et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ .

Fasit

$A = \frac{1}{6}$

$V = \frac{π}{30}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner nullpunktene til $f (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ : $x = 0$ og $x = 1$ . Mellom nullpunktene ligger grafen under x-aksen, siden parabelen har positiv koeffisient foran $x^{2}$ og åpner oppover.

Arealet finner vi ved å ta absoluttverdien av det bestemte integralet fra $0$ til $1$ .

A = - \int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x = - {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = - (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{6}

Arealet av flatestykket $F$ er $𝑨 = \frac{1}{6}$ .

Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegeme om x-aksen.

V = π \int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) d x

V = π {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = π (\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3})

Med fellesnevner $30$ : $\frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{1}{30}$ .

V = \frac{π}{30}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Integrasjon

Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Lov på eksamen

Temaer