Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt $Δ A B C$ slik at $B C = 20$ , $A C = 13$ og $\sin B = \frac{3}{5}$ .

Bestem arealet av trekanten.

Fasit

$T = 126$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $Δ A B C$ med $B C = 20$ (motstående vinkel $A$ ), $A C = 13$ (motstående vinkel $B$ ) og $\sin B = \frac{3}{5}$ .

Steg 1: Finn $\sin A$ ved sinussetningen.

Sinussetningen gir

\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}

\sin A = \frac{B C \cdot \sin B}{A C} = \frac{20 \cdot \frac{3}{5}}{13} = \frac{12}{13}

Vi kjenner igjen $5$ - $12$ - $13$ -trippelet, og siden vinkel $A$ i denne oppgaven er spiss, blir

\cos A = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Steg 2: Finn $\sin C$ .

Siden vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , er $C = 180 ° - A - B$ , og dermed $\sin C = \sin (A + B)$ . Fra $\sin B = \frac{3}{5}$ (spiss vinkel) er $\cos B = \frac{4}{5}$ , og med formelen for sinus til en sum:

\sin C = \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}

Steg 3: Bruk arealsetningen.

Sidene $B C$ og $A C$ møtes i toppunkt $C$ , så vinkelen mellom dem er $C$ . Arealsetningen gir da

T = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A C \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13 \cdot \frac{63}{65}

T = \frac{1}{2} \cdot 260 \cdot \frac{63}{65} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 63 = \frac{252}{2} = 126

$T = 126$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2015, del 1, oppgave 14
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Trigonometri, Arealsetningen

Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel

Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel

Lov på eksamen

Temaer