Andreordens differensiallikning med eksponentialløsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y^{''} - y = 0 der y er en funksjon av x .

Vis at $y = C_{1} \cdot e^{x} + C_{2} \cdot e^{- x}$ er løsning av differensiallikningen, når $C_{1}$ og $C_{2}$ er konstanter.

Bestem $C_{1}$ og $C_{2}$ når $y (0) = 5$ og $y^{'} (0) = - 1$ .

Fasit

Vist ved derivasjon, se løsningsforslag.

$C_{1} = 2, C_{2} = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $y = C_{1} \cdot e^{x} + C_{2} \cdot e^{- x}$ to ganger:

y^{'} = C_{1} \cdot e^{x} - C_{2} \cdot e^{- x}

y^{''} = C_{1} \cdot e^{x} + C_{2} \cdot e^{- x}

Vi ser at $y^{''} = y$ . Setter vi inn i differensiallikningen, får vi

y^{''} - y = (C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}) - (C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}) = 0

Dermed er $y = C_{1} \cdot e^{x} + C_{2} \cdot e^{- x}$ en løsning av differensiallikningen for alle verdier av $C_{1}$ og $C_{2}$ .

y^{''} - y = 0 for alle C_{1}, C_{2}

Vi bruker initialbetingelsene $y (0) = 5$ og $y^{'} (0) = - 1$ sammen med uttrykkene for $y$ og $y^{'}$ fra a).

Fra $y (0) = 5$ :

C_{1} \cdot e^{0} + C_{2} \cdot e^{0} = 5 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 5

Fra $y^{'} (0) = - 1$ :

C_{1} \cdot e^{0} - C_{2} \cdot e^{0} = - 1 \Rightarrow C_{1} - C_{2} = - 1

Vi legger sammen de to likningene:

2 C_{1} = 4 \Rightarrow C_{1} = 2

Setter vi $C_{1} = 2$ inn i $C_{1} + C_{2} = 5$ , får vi $C_{2} = 3$ .

C_{1} = 2, C_{2} = 3

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Verifikasjon ved innsetting gir full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon

Innstillinger