Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Alle andregradsfunksjoner kan skrives på formen $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ . I denne oppgaven skal vi se på hvordan parameterne $a$ , $b$ , og $c$ endrer grafen til $f$ .

Vi starter med å studere betydningen av parameteren $c$ .

For hånd

Skisser grafene til $f (x) = x^{2} + 2 x + c$ for $c$ -verdiene $c \in {- 4, - 2, 0, 2, 4}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Så studerer vi betydningen av parameteren $a$ .

For hånd

Skisser grafene til $f (x) = a \cdot x^{2} + 2 x + 1$ for $a$ -verdiene $a \in {- 4, - 2, 0, 2, 4}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Til slutt studerer vi betydningen av parameteren $b$ .

For hånd

Skisser grafene til $f (x) = x^{2} + b \cdot x + 1$ for $b$ -verdiene $b \in {- 8, - 4, - 2, 0, 2, 4, 8}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

For hånd

Finn koordinatene til bunnpunktet på hver av grafene i c). Hvilken kurve ser det ut til at bunnpunktene ligger på?

For hånd

Finn formelen for den kurven som bunnpunktene ligger på.

For hånd

Gjenta det du gjorde i c), d) og e) for funksjonen $f (x) = - 2 x^{2} + b \cdot x - 8$ for $b$ -verdiene $b \in {- 8, - 4, - 2, 0, 2, 4, 8}$ . Gi et forslag til hvilken kurve bunn- eller toppunktene til grafen til $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ ligger på.

Fasit

Grafene er loddrette parallellforskyvninger av hverandre – økende $c$ flytter grafen oppover.

$a$ bestemmer om parabelen vender opp ( $a > 0$ ) eller ned ( $a < 0$ ), og hvor smal den er; $a = 0$ gir en rett linje.

Grafene er kongruente parabler som er forskjøvet slik at bunnpunktet flytter seg.

Bunnpunktene ser ut til å ligge på en parabel som vender nedover.

$y = 1 - x^{2}$

Toppunktene ligger på $y = 2 x^{2} - 8$ ; generelt ligger topp-/bunnpunktene til $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (med $a, c$ faste) på kurven $y = - a x^{2} + c$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi skisserer grafene til $f (x) = x^{2} + 2 x + c$ for $c \in {- 4, - 2,0,2,4}$ .

Grafer for ulike c-verdier

Alle grafene har $x = - 1$ som symmetriakse, siden koeffisientene foran $x^{2}$ og $x$ er de samme for alle grafene. Grafene har altså samme form – de er kongruente parabler. Når $c$ øker, flyttes hele grafen loddrett oppover; når $c$ minker, flyttes grafen nedover. Dette er fordi $c = f (0)$ , altså skjæringspunktet med $y$ -aksen, og hele grafen forskyves med grafen til $x^{2} + 2 x$ som utgangspunkt. Konstantleddet $c$ gir altså en loddrett parallellforskyvning av grafen.

Vi skisserer grafene til $f (x) = a \cdot x^{2} + 2 x + 1$ for $a \in {- 4, - 2,0,2,4}$ .

Grafer for ulike a-verdier

Alle grafene går gjennom samme punkt $(0,1)$ , siden $f (0) = 1$ uansett verdi av $a$ . Ellers ser vi tydelig forskjeller:

Når $a > 0$ vender parabelen oppover (har et bunnpunkt/minimum).
Når $a < 0$ vender parabelen nedover (har et toppunkt/maksimum).
Når $a = 0$ er grafen ikke lenger en parabel, men en rett linje, $f (x) = 2 x + 1$ .
Jo større $| a |$ er, jo smalere/brattere er parabelen (den vokser raskere bort fra symmetriaksen).

Parameteren $a$ bestemmer altså både åpningsretning og hvor “trang” parabelen er.

Vi skisserer grafene til $f (x) = x^{2} + b \cdot x + 1$ for $b \in {- 8, - 4, - 2,0,2,4,8}$ , sammen med bunnpunktene (svarte punkter) og kurven de ligger på (rød, se punkt e).

Grafer for ulike b-verdier med bunnpunkter

Alle grafene er kongruente parabler (samme koeffisient foran $x^{2}$ ), men parameteren $b$ flytter symmetriaksen og dermed hele grafen sidelengs og loddrett – bunnpunktet vandrer langs en kurve etter hvert som $b$ endres.

Symmetriaksen (og dermed $x$ -koordinaten til bunnpunktet) er $x = - \frac{b}{2}$ , og $y$ -koordinaten finner vi ved å sette denne $x$ -verdien inn i $f$ . Dette gir bunnpunktene:

$b$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$8$
Bunnpunkt	$(4, - 15)$	$(2, - 3)$	$(1,0)$	$(0,1)$	$(- 1,0)$	$(- 2, - 3)$	$(- 4, - 15)$

Av figuren i c) ser vi at disse punktene ser ut til å ligge på en parabel som vender nedover, med toppunkt i $(0,1)$ .

Vi finner formelen for kurven bunnpunktene ligger på, ved å regne ut bunnpunktet til $f (x) = x^{2} + b x + 1$ generelt (med $b$ som variabel parameter).

Symmetriaksen er

x = - \frac{b}{2} \Rightarrow b = - 2 x

Bunnpunktets $y$ -koordinat finner vi ved å sette $x = - \frac{b}{2}$ inn i $f$ :

y = {(- \frac{b}{2})}^{2} + b (- \frac{b}{2}) + 1 = \frac{b^{2}}{4} - \frac{b^{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{b^{2}}{4}

Vi setter inn $b = - 2 x$ for å uttrykke $y$ ved $x$ alene:

y = 1 - \frac{{(- 2 x)}^{2}}{4} = 1 - \frac{4 x^{2}}{4} = 1 - x^{2}

Bunnpunktene til $f (x) = x^{2} + b x + 1$ ligger altså på parabelen

y = 1 - x^{2}

som stemmer godt med det vi observerte i d) og på figuren i c) (den røde kurven).

Vi gjentar prosedyren for $f (x) = - 2 x^{2} + b x - 8$ , med $b \in {- 8, - 4, - 2,0,2,4,8}$ .

Grafer for ulike b-verdier med toppunkter

Symmetriaksen er nå $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{b}{- 4} = \frac{b}{4}$ , altså $b = 4 x$ . Toppunktets $y$ -koordinat er

y = - 2 x^{2} + b x - 8 = - 2 x^{2} + (4 x) \cdot x - 8 = - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 8 = 2 x^{2} - 8

Toppunktene ligger altså på kurven

y = 2 x^{2} - 8

Dette stemmer med figuren over: de svarte toppunktene $(- 4, - 15)$ vil ligge for langt utenfor vinduet til å vises, men de synlige punktene $(- 2,0), (- 1, - 6), (- 0,5, - 7,5), (0, - 8), (0,5, - 7,5), (1, - 6), (2,0)$ ligger tydelig på den røde kurven $y = 2 x^{2} - 8$ .

Generalisering. For en generell funksjon $f (x) = a x^{2} + b x + c$ der $a$ og $c$ er faste og $b$ varierer, er symmetriaksen $x = - \frac{b}{2 a}$ , altså $b = - 2 a x$ . Topp-/bunnpunktets $y$ -koordinat er da

y = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c = - \frac{b^{2}}{4 a} + c

Setter vi inn $b = - 2 a x$ :

y = - \frac{{(- 2 a x)}^{2}}{4 a} + c = - \frac{4 a^{2} x^{2}}{4 a} + c = - a x^{2} + c

Topp-/bunnpunktene til grafene i familien $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (med $a, c$ faste, $b$ varierende) ligger altså på parabelen

y = - a x^{2} + c

Med $a = 1, c = 1$ (som i e) gir dette $y = 1 - x^{2}$ , og med $a = - 2, c = - 8$ (som i f) gir det $y = 2 x^{2} - 8$ – begge stemmer med det vi fant.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2007, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Funksjoner, Graf

Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer