Vi skriver $f(x) = ax^2 + bx + c$, slik at $f'(x) = 2ax + b$.

En tangent i punktet $(x_0, f(x_0))$ har stigning $f'(x_0)$. Vi bruker betingelsene fra begge tangentene til å sette opp et likningssystem.

Tangenten i $(-2, 0)$ har likningen $y = 9x + 18$:

Stigning: $f'(-2) = 9$, altså

$$2a \cdot (-2) + b = 9 \implies \textcolor{steelblue}{-4a + b = 9} \quad (1)$$

Tangentpunktet ligger på grafen: $f(-2) = 0$, altså

$$a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \implies \textcolor{seagreen}{4a - 2b + c = 0} \quad (2)$$

Tangenten i $(8, -10)$ har likningen $y = -11x + 78$:

Stigning: $f'(8) = -11$, altså

$$2a \cdot 8 + b = -11 \implies \textcolor{tomato}{16a + b = -11} \quad (3)$$

Tangentpunktet ligger på grafen: $f(8) = -10$, altså

$$a \cdot 64 + b \cdot 8 + c = -10 \implies \textcolor{orange}{64a + 8b + c = -10} \quad (4)$$

Finn $a$ og $b$ fra (1) og (3):

Vi trekker likning (1) fra likning (3):

$$\textcolor{tomato}{16a + b} - (\textcolor{steelblue}{-4a + b}) = -11 - 9$$ $$20a = -20 \implies a = -1$$

Setter $a = -1$ inn i (1):

$$-4(-1) + b = 9 \implies 4 + b = 9 \implies b = 5$$

Finn $c$ fra (2):

$$4(-1) - 2 \cdot 5 + c = 0 \implies -4 - 10 + c = 0 \implies c = 14$$

Dermed er $f(x) = -x^2 + 5x + 14$, og

$$\boxed{f'(x) = -2x + 5}$$

$f'(x) = \underline{\underline{5 - 2x}}$