Differensiallikningen

er en andregrads, homogen, lineær differensiallikning med konstante koeffisienter. Den karakteristiske likningen er

Vi fullfører kvadratet. GeoGebra CAS bekrefter at

(se linje 1 i utklippet), altså er den karakteristiske likningen ekvivalent med

Den karakteristiske likningen har altså komplekse røtter $r=-\mathrm{0,2}\pm 1i$, det vil si på formen $a\pm bi$ med $a=-\mathrm{0,2}$ og $b=1$.

For en karakteristisk likning med komplekse røtter $r=a\pm bi$ er den generelle løsningen av differensiallikningen

Med $a=-\mathrm{0,2}$ og $b=1$ får vi

der $C$ og $D$ er konstanter, som skulle vises.

Vi bruker startbetingelsene til å bestemme $C$ og $D$.

Bestemmer $D$: Siden $\sin 0=0$ og $\cos 0=1$, gir $y(0)=5$ at

Se linje 2 i utklippet, der $D=5$ er lagt inn.

Bestemmer $C$: Vi setter inn $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ og bruker $y\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=0$:

Siden $e^{-\mathrm{0,2}\cdot \frac{3\pi }{4}}\ne 0$, må parentesen være lik null:

Med $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ og $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ og $D=5$ løser CAS (linje 3 i utklippet) likningen og finner $C=D=5$.

Vi setter $C=5$ og $D=5$ inn i det generelle uttrykket fra a):

som skulle vises.