Addisjonsteoremer og dobbeltvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Følgende formler er gitt:

\sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v

\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v

Bruk formlene ovenfor til å uttrykke $\sin (2 x)$ og $\cos (2 x)$ ved $\sin x$ og $\cos x$ .

Vis at $\sin (3 x) = 3 \sin x - 4 {(\sin x)}^{3}$

Fasit

$\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ , $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

Vist under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker addisjonsteoremene med $u = v = x$ .

\sin (2 x) = \sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cos x

\cos (2 x) = \cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Vi skriver $3 x = 2 x + x$ og bruker addisjonsteoremet for $\sin$ sammen med resultatene fra a).

\sin (3 x) = \sin (2 x + x) = \sin (2 x) \cdot \cos x + \cos (2 x) \cdot \sin x

Setter inn $\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ og $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ :

\sin (3 x) = 2 \sin x \cos x \cdot \cos x + (\cos^{2} x - \sin^{2} x) \cdot \sin x

\sin (3 x) = 2 \sin x \cos^{2} x + \sin x \cos^{2} x - \sin^{3} x = 3 \sin x \cos^{2} x - \sin^{3} x

Bruker så $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ :

\sin (3 x) = 3 \sin x (1 - \sin^{2} x) - \sin^{3} x = 3 \sin x - 3 \sin^{3} x - \sin^{3} x

\sin (3 x) = 3 \sin x - 4 \sin^{3} x

som var det som skulle vises.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Eksakte verdier, Bevis

Innstillinger