Kasper har spart penger på en BSU-konto i 5 år. Han har satt inn $\text{kr } 27\,500$ på kontoen 1. januar hvert år fra og med 2021 til og med 2025. Rentesatsen har vært $5{,}40\,\%$ i hele perioden.

a)

Bruk en geometrisk rekke til å regne ut hvor mye Kasper har på BSU-kontoen 31.12.2025.

Kasper har funnet en leilighet han ønsker å kjøpe. Han kontakter banken for å ordne med finansiering. I tillegg til beløpet han har på BSU-kontoen, får han låne $2\,600\,000$ kroner av banken.

Han vil også kjøpe møbler og kjøkkeninnredning, og tar opp et forbrukslån på $150\,000$ kroner til en mye høyere rentesats.

• Nedbetalingstiden på huslånet er $30$ år.
• Nedbetalingstiden på forbrukslånet er $10$ år.
• Begge lånene er annuitetslån.
• Rentesatsen på huslånet er $5\,\%$.
• Terminbeløpene betales årlig, og første innbetaling er etter ett år.

Kasper regner ut at han må betale $200\,000$ kroner i terminbeløp for begge lånene.

b)

Hvor høy er rentesatsen på forbrukslånet?

Fasit

a)

161 445 kr

b)

15,85 %

Løsningsforslag

a)

Beløpene på kontoen har fått renter i henholdsvis 1, 2, 3, 4 og 5 år. Altså blir rekka

$$27 \,500 \cdot 1{,}054^{1}+27\,500 \cdot 1{,}054^{2} + \dots + 27\,500 \cdot 1{,}054^{5}$$

Jeg velger å finne summen av rekka med CAS.

Det står 161 445 kr på kontoen 31.12.2025.

b)

Jeg forsøker først å behandle lånene separat. Boliglånet er terminbeløp med lånebeløp 2,6 millioner og rente 5 % over 30 år. Vi kan finne terminbeløpet med å sette lånebeløpet lik summen av nåverdiene til terminbeløpet.

Terminbeløpet på forbrukslånet må da være

$$200 \,000 - 169\,133{,}73 = 30\,866{,}27 \mathrm{~kr}$$

For å finne renta på forbrukslånet så setter vi igjen lånebeløpet lik summen av nåverdiene til terminbeløpet.

Vekstfaktoren på forbrukslånet gir oss en rente på 15,85 %.

Rentesatsen på forbrukslånet er 15,85 %.

Sensorveiledning

a)

For å få full uttelling må kandidaten sette opp og regne ut en rekke med riktig kvotient, startverdi, og antall ledd. Det gis lik uttelling på besvarelser med og uten siste års rente.

b)5 poeng

1 poeng for riktig strategi, 1 poeng for å regne ut terminbeløpene, 1 poeng for riktig rentesats.