Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26

En gruppe forskere observerer utviklingen i to bakteriekulturer.

Antall millioner bakterier $f$ i den første bakteriekulturen $t$ dager etter at observasjonene startet, er gitt ved

f(t) = 2{,}2 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}

Bestem $f'(8)$ og løs likningen $f'(t) = 8$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Antall millioner bakterier $g$ i den andre bakteriekulturen $t$ dager etter at observasjonene startet, er gitt ved

g(t) = 1{,}2 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2}

Når er veksten i de to bakteriekulturene like stor? Hvor stor er denne veksten?

Fasit

0,7304 og 31,94

$t=5{,}13$ og $0{,}548$

Løsningsforslag

CAS løsning av a

$f'(8)=0{,}7304$ . Det betyr at antall bakterier vokser med 0,73 millioner per dag på akkurat på dag 8.

$f'(t)=8$ gir oss $t=31{,}94$ . Det betyr at antall bakterier vokser med 8 millioner per dag omtrent på dag 32.

Løsning av b

Vi løser likningen $f'(t)=g'(t)$ og får $t=5{,}13$ .

Veksten er altså like stor etter 5,13 dager. Veksten er da $0{,}548$ millioner bakterier per dag.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne verdiene og 1 poeng for den praktiske tolkningen. Kandidater som finner en av verdiene og har en praktisk tolkning av den kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne veksten.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2026, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjon, derivasjon, vekstfart
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon