Ubestemt integral v24

Regn ut integralet

\int \left( x^{2}+1 \right)^{3} \cdot 2x \, \mathrm{d}x

Fasit

$\frac{1}{4}(x^{2}+1)^{4}+C$

Løsningsforslag

Jeg ser at hvis jeg velger $u=x^{2}+1$ og bruker variabelskifte, så kan jeg forkorte bort $2x$ -faktoren senere.

\begin{aligned} \int (x^{2}+1)^{3} \cdot 2x \, \mathrm{d}x &= \int u \cdot 2x \, \mathrm{d}x \\ u&=x^{2}+1\\ \frac{du}{dx}&=2x\\ dx&=\frac{du}{2x} \end{aligned}

Jeg erstatter $dx$ i det opprinnelige integralet med $\frac{du}{2x}$

\int u^{3} \cdot 2x \, \mathrm{d}x =\int u^{3}\cdot \cancel{ 2x } \, \frac{du}{\cancel{ 2x }} =\int u^{3} \, \mathrm{d}u=\frac{1}{4}u^{4}+C= \underline{\underline{\frac{1}{4}(x^{2}+1)^{4}+C}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2024, del 1, oppgave 2
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: integral, substitusjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner