Bestemt integral og areal

Del 1 · oppgave 1
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Bestemt integral og areal

En funksjon ff er gitt ved

f(x)=−x3+3xf(x)=-x^{3}+3x

Regn ut integralet

∫−10f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx

Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til ff, xx-aksen og linjene x=−1x=-1 og x=1x=1

Fasit

−54-\frac{5}{4}

52\frac{5}{2}

Løsningsforslag
∫−10(−x3+3x) dx[−14x4+32x2]−100−(−14(−1)4+32(−1)2)−(−14+32)=−54\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \left( -x^{3}+3x \right) \, dx& \\ \left[ -\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2} \right]_{-1}^0& \\ 0-\left( -\frac{1}{4}(-1)^{4} + \frac{3}{2}(-1)^{2} \right)& \\ -\left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right)&=-\frac{5}{4} \end{aligned}

Integralet er −54‾‾\underline{\underline{-\frac{5}{4}}}.

Jeg finner først nullpunktene ved å faktorisere uttrykket.

f(x)=−x3+3x=−x(x2−3)=−x(x2−(3)2)=−x(x+3)(x−3)f(x)=-x^{3}+3x=-x(x^{2}-3)=-x\left(x^{2}-\left( \sqrt{ 3 } \right)^{2} \right) = -x(x+\sqrt{ 3 })(x-\sqrt{ 3 })

Vi har nullpunkter når f(x)=0f(x)=0. Det vil si at vi har nullpunkter når x=−3,x=0,x=3x=-\sqrt{ 3 }, x=0, x=\sqrt{ 3 }. Det er kun nullpunktet x=0x=0 som ligger mellom x=−1x=-1 og x=1x=1.

For å finne ut om funksjonen er positiv eller negativ i intervallene så sjekker jeg funksjonsverdien i x=−1x=-1 og x=1x=1.

f(−1)=−(−1)3+3(−1)=1−3=−2f(-1)=-(-1)^{3}+3(-1)=1-3=-2 f(1)=−(1)3+3⋅1=−1+3=2f(1)=-(1)^{3}+3 \cdot 1=-1+3=2
Alternativ måte å sjekke hvor funksjonen er positiv og negativ

Siden integralet ∫−10f(x) d<0\int_{-1}^{0} f(x) \, d < 0 og det ikke finnes noen nullpunkter for x∈⟨−1,0⟩x \in \langle-1, 0 \rangle, så må ff være negativ når x∈⟨−1,0⟩x \in \langle-1, 0 \rangle

ff er altså negativ i intervallet [−1,0⟩[-1, 0\rangle og positiv i intervallet ⟨0,1]\langle 0 , 1]. Vi finner arealet ved å ta integralene av hver del (og husker minustegn foran integralet til området som ligger under xx-aksen).

A=−∫−10f(x) dx+∫01f(x) dxA=−(−54)+[−14x4+32x2]01A=54+−14+32=104=52\begin{aligned} A&=-\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx \\ A&=- \left( -\frac{5}{4} \right) +\left[ -\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2} \right]_{0}^1 \\ A&=\frac{5}{4} + -\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \end{aligned}

Arealet av området er 52‾‾\underline{\underline{\frac{5}{2}}}.

Oppgavedata
Hentet fra
S2 V2024, del 1, oppgave 1
Delt med
S2, R2
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
4
Temaer
integral, areal under graf, bestemt integral
Kompetansemål
  • Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
  • Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner