Spareavtale og aksjefond

For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?

Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?

For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner.

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?

Fasit

$42\,013{,}20 \mathrm{~kr}$

47 måneder (3 år og 11 måneder)

$r \approx 0{,}90 \,\%$ per måned

LøsningsforslagKI-generert

Med vekstfaktor $k = 1{,}0025$ og fast månedlig innskudd $b = 1000 \mathrm{~kr}$ er beløpet etter $n$ innskudd gitt ved summen av en geometrisk rekke:

S_n = b \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Vi setter inn $n = 40$ i CAS (se linje 1 i utklippet):

CAS-beregning av spareavtale

S_{40} = 1000 \cdot \frac{1{,}0025^{40} - 1}{0{,}0025} \approx \underline{\underline{42\,013{,}20 \mathrm{~kr}}}

Vi må finne minste $n$ slik at $S_n > 50\,000$ :

1000 \cdot \frac{1{,}0025^n - 1}{0{,}0025} > 50\,000

Fra CAS ser vi at $S_{48} \approx 50\,931 > 50\,000$ (linje 2), mens $S_{47} < 50\,000$ .

Beløpet passerer 50 000 kroner idet innskudd nummer 48 settes inn. Tiden fra innskudd 1 til innskudd 48 er 47 måneder.

Det gikk altså $\underline{\underline{47 \text{ måneder}}}$ (3 år og 11 måneder) fra Rannveig satte inn første innskudd til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen.

Vi skal finne $r$ slik at

1000 \cdot \frac{(1+r)^{40} - 1}{r} = 47\,900

Vi løser numerisk i CAS:

\underline{\underline{r \approx 0{,}0090 = 0{,}90 \,\%}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 2, oppgave 2
Poeng: 6
Temaer: sparing, rekker, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker