Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

La $X$ være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse med kjøttmeis. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	0	1	2	3	4
$P(X=k)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}3$	$0{,}1$

Bestem $P(X \ge 2)$ .

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ , og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}$ .
Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?

Et år har biologilærer Peder overvåket 100 fuglekasser med kjøttmeis. Kassene er nummerert fra 1 til 100. La $X_i$ være antall kjøttmeisunger som overlever i kasse nummer $i$ . Vi antar at $X_i$ -ene er uavhengige. Det totale antallet kjøttmeisunger som overlever i de 100 kassene, er gitt ved den stokastiske variabelen

S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Bestem $\text{E}(S)$ og $\text{Var}(S)$ .

I resten av oppgaven går vi ut fra at $\text{E}(S) = 200$ og $\text{SD}(S) = 13$ . Du vil få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Bestem sannsynligheten for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året.

Bestem $P(187 \le S \le 213)$ .

Fasit

$\underline{\underline{P(X \ge 2) = 0{,}7}}$

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 2}}$ , $\underline{\underline{\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}}}$

Sentralgrenseteoremet

$\underline{\underline{\text{E}(S) = 200}}$ , $\underline{\underline{\text{Var}(S) = 160}}$

$\underline{\underline{P(S \ge 226) \approx 2{,}28\,\%}}$

$\underline{\underline{P(187 \le S \le 213) \approx 0{,}6827}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi summerer sannsynlighetene for $X = 2$ , $X = 3$ og $X = 4$ :

P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}1 = \underline{\underline{0{,}7}}

Forventningsverdien beregnes ved formelen $\text{E}(X) = \sum k \cdot P(X=k)$ :

\text{E}(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}9 + 0{,}4 = \underline{\underline{2}}

For standardavviket bruker vi $\text{SD}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}$ der $\text{Var}(X) = \sum (k - \mu)^2 \cdot P(X=k)$ :

\text{Var}(X) = (0-2)^2 \cdot 0{,}2 + (1-2)^2 \cdot 0{,}1 + (2-2)^2 \cdot 0{,}3 + (3-2)^2 \cdot 0{,}3 + (4-2)^2 \cdot 0{,}1

= 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}8 + 0{,}1 + 0 + 0{,}3 + 0{,}4 = 1{,}6

Dermed er $\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}$ . Vist.

$\text{E}(X) = 2$ forteller oss at vi i gjennomsnitt kan forvente at 2 kjøttmeisunger overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av et stort antall uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt. Her er $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$ en sum av 100 uavhengige variabler med samme fordeling. Siden $n = 100$ er stort, er $S$ tilnærmet normalfordelt.

Siden $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ er uavhengige og identisk fordelte med $\text{E}(X_i) = 2$ og $\text{Var}(X_i) = 1{,}6$ , gir regnereglene for forventningsverdi og varians:

\text{E}(S) = \text{E}(X_1) + \text{E}(X_2) + \cdots + \text{E}(X_{100}) = 100 \cdot \text{E}(X) = 100 \cdot 2 = \underline{\underline{200}}

\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \cdots + \text{Var}(X_{100}) = 100 \cdot \text{Var}(X) = 100 \cdot 1{,}6 = \underline{\underline{160}}

Vi bruker at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 200$ og $\sigma = 13$ (oppgitt). Vi standardiserer med $Z = \dfrac{S - \mu}{\sigma}$ :

P(S \ge 226) = 1 - P(S < 226) = 1 - P\!\left(Z < \frac{226 - 200}{13}\right) = 1 - P(Z < 2)

Fra normalfordelingstabellen er $P(Z < 2) = 0{,}9772$ , så

P(S \ge 226) = 1 - 0{,}9772 = \underline{\underline{0{,}0228 \approx 2{,}28\,\%}}

Det er altså omtrent $2{,}3\,\%$ sannsynlighet for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever.

Vi standardiserer begge grensene:

P(187 \le S \le 213) = P(S \le 213) - P(S \le 187)

= P\!\left(Z \le \frac{213 - 200}{13}\right) - P\!\left(Z \le \frac{187 - 200}{13}\right) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)

Fra normalfordelingstabellen er $P(Z \le 1) = 0{,}8413$ og $P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1) = 0{,}1587$ :

P(187 \le S \le 213) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = \underline{\underline{0{,}6827 \approx 68{,}3\,\%}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Normalfordeling, Sentralgrenseteoremet

Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Sync på tvers av enheter

Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave