Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x}

g(x) = \ln(x^2 + 1)

h(x) = x^2 \mathrm{e}^x

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = 2x + \dfrac{2}{x^2}}}$

$\underline{\underline{g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}}}$

$\underline{\underline{h'(x) = xe^x(x+2)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x}$ ved å bruke potensregler:

f(x) = x^2 - 2x^{-1}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen $(kx^n)' = knx^{n-1}$ :

f'(x) = 2x - 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 2x + 2x^{-2} = \underline{\underline{2x + \frac{2}{x^2}}}

Vi bruker kjerneregelen. Lar $u = x^2 + 1$ være kjernen, slik at $g(x) = \ln(u)$ .

Vi vet at $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , og vi finner $u' = 2x$ .

g'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1} = \underline{\underline{\frac{2x}{x^2+1}}}

Vi bruker produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ .

Setter $u = x^2$ og $v = e^x$ , slik at $u' = 2x$ og $v' = e^x$ .

h'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x

Vi faktoriserer ut $xe^x$ :

h'(x) = xe^x(2 + x) = \underline{\underline{xe^x(x+2)}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter