Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \qquad , \quad D_P = \mathbb{R}

Bestem $P(2)$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i lineære faktorer.

Fasit

$P(2) = \underline{\underline{0}}$

$P(x) = (x-2)^2(x+1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 2$ direkte i $P(x)$ :

P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = \mathbf{\underline{\underline{0}}}

Siden $P(2) = 0$ , vet vi at $(x - 2)$ er en faktor i $P(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $(x^3 - 3x^2 + 4) : (x - 2)$ :

\begin{aligned} (x^3 - 3x^2 + 0x + 4) &: (x-2) = x^2 - x - 2 \\ -(x^3 - 2x^2) & \\ \hline -x^2 + 0x & \\ -(-x^2 + 2x) & \\ \hline -2x + 4 & \\ -(-2x + 4) & \\ \hline 0 & \end{aligned}

Altså er $P(x) = (x-2)(x^2 - x - 2)$ .

Vi faktoriserer andregradsleddet $x^2 - x - 2$ med abc-formelen:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = -1$ , så $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ .

Dermed er

\mathbf{\underline{\underline{P(x) = (x-2)^2(x+1)}}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter