I denne oppgaven er jeg veldig usikker på hva som kreves for å forklare at uttrykket i oppgaveteksten er det samme som forventningsverdien. Jeg tror ikke det er meningen at elever skal gjøre det samme som jeg har gjort her – men jeg klarer ikke helt å se en enklere måte å argumentere for at forventningsverdien er eksakt lik summen av «antall kast nødvendig».

Vi lar $X$ være antall kast som trengs før vi har fått 2 like terningkast på rad. Sannsynligheten for å at et terningkast har samme antall øyne som det forrige er $1/6$, og sannsynligheten for at antall øyne er ulikt er $5/6$. Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet og sette opp følgende sannsynlighetsfordeling for $X$:

Forventningsverdien til $X$ vil da være

Vi kaller alt inni parentesen for $S$, og omskriver heltallene som står foran $\frac{5}{6}$ som en sum av enere:

Vi deler nå opp denne summen i en rekke delsummer slik at $S = \lim_{ n \to \infty } S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ hvor

Forventningsverdien er altså

Hvis vi ser bort fra det aller første leddet ($\textcolor{seagreen}{1}$), så er dette en uendelig geometrisk rekke med $a_{1}=1$ og $k=\frac{5}{6}$

Vi kan finne summen av rekka $s$ med GeoGebra, eller med formelen for sum av uendelig geometrisk rekke:

Til sammen blir altså $\text{E}(X)=\textcolor{seagreen}{1}+s=\textcolor{seagreen}{1}+6=7$.

Verdien av rekka er 7.

Vi skal simulere forventningsverdien til summen av antall øyne på alle terningene som kastes i jakten på å få to like kast på rad.

from random import randint
N = 100_000                        
sum_øyne = 0                        # totalt antall øyne på terningene

for i in range(N):
    t1 = randint(1,6)               # terningkast 1
    t2 = randint(1,6)               # terningkast 2

    sum_øyne = sum_øyne + t1 + t2   # legger til resultatene til summen
    while t1 != t2:
        t1 = t2                     # flytter t2's verdi til t1
        t2 = randint(1,6)           # ruller t2 på nytt
        sum_øyne = sum_øyne + t2    # legger til nytt resultat til summen

EX = sum_øyne/N                     # forventningsverdi = snitt i det lange løp
print(f"Jeg estimerer forventningsverdien til å være {EX:.3f} etter {N} simuleringer.")

Output: Jeg estimerer forventningsverdien til å være 24.502 etter 100000 simuleringer.

Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser det ut til estimatet mitt er stabilt på rundt $24{,}5$. Det stemmer også godt med at forventningsverdien for en terning er $3{,}5$ og vi trenger i snitt $7$ kast før vi har fått to like på rad.

Jeg estimerer forventningsverdien til summen av antall øyne før Ane får to like terninger på rad til å være 24,5.