Figurer som viser normalfordeling

En gartner sår 1000 frø. Frøene har en spireevne på 70 %.

Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten for antall frø som spirer?

Husk å begrunne svaret ditt.

To normalfordelingskurver med topp ved 700. I figur 1 går tallinjen fra −200 til 1600, og kurven er bred — det meste av arealet ligger mellom 200 og 1200. I figur 2 går tallinjen fra 660 til 740, og det meste av arealet ligger mellom 670 og 730.

En stokastisk variabel er normalfordelt med $E(X)=50$ og $\sigma=10$ .

Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten til denne stokastiske variabelen?

Husk å begrunne svaret ditt.

To normalfordelingskurver med topp ved 50. I figur 3 går tallinjen fra 10 til 90, og det meste av arealet ligger mellom 20 og 80. I figur 4 går tallinjen fra 30 til 70, og kurven er smalere — det meste av arealet ligger mellom 35 og 65.

Fasit

Figur 2

Figur 3

Løsningsforslag

Vi kan bruke en binomisk sannsynlighetsmodell siden vi kan regne dette som 1000 uavhengige forsøk hvor frøene enten spirer eller ikke spirer. På grunn av sentralgrensesetningen kan vi også bruke normalfordeling som en tilnærming til den binomiske fordelingen.

\text{Var}(X)=np(1-p)=1000\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3=210

I dette tilfellet er normalfordelingen en svært god tilnærming til den binomiske fordelingen siden variansen er mye større enn 5.

Vi bestemmer forventningsverdien og standardavviket

E(X)=\mu=np=1000\cdot 0{,}7=700 \quad \text{og} \quad \sigma=\sqrt{ 210 } \approx 14

Vi vet at omtrent 68 % av utfallene kommer til å havne innenfor ett standardavvik fra forventningsverdien, altså at $P(\mu-\sigma< X<\mu+\sigma)\approx 0{,}68$ .

Vi ser at figur 1 må ha et standardavvik på mer enn 100, derfor må figur 2 være riktig figur.

Vi kan bruke samme tankegang som i forrige oppgave. Vi ser at figur 4 har mye mer enn 68 % av sitt skraverte areal innenfor intervallet $\left[ \mu-\sigma , \mu+\sigma \right]=\left[ 40 , 60 \right]$ .

Figur 3 viser sannsynlighetstettheten.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som bruker relevante argument til å velge én av framstillingene kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten argumentere riktig for hvorfor det ikke kan være den andre fremstillingen. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Standard normalfordeling, Binomisk, Binomisk fordeling, Graftolkning
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

Figurer som viser normalfordeling

Sync på tvers av enheter

Figurer som viser normalfordeling

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave