Varians i diskret sannsynlighetsfordeling

Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ .

$x$	0	1	4	$b$
$P(X=x)$	$0{,}30$	$0{,}40$	$0{,}10$	$0{,}20$

$E(X)=2$ .

Vis at $b=6$ , og bestem $\text{Var}(X)$ .

Fasit

$\mathrm{Var}(X)=5{,}2$

Løsningsforslag

Tabell 1: Sannsynlighetsfordelingen til oppgave 1-3

Vi vet at forventningsverdien er summen av produktene av $x \cdot P(X=x)$ , se rad 2 i tabell tabell 1. Det betyr at

0+0{,}40+0{,}40+0{,}20b = 2 \iff 0{,}20 b = 1{,}2 \iff b=6

Vi har vist at $\underline{\underline{b=6}}$ .

Variansen til $X$ er gitt ved

\begin{aligned} \text{Var}(X)&=\sum_{i=1}^{N}\left( ( x_{i}-\mu)^{2}\cdot P(X=x_{i}) \right)\\ \text{Var}(X)&=1{,}2+0{,}40+0{,}40+3{,}2=\underline{\underline{5{,}2}} \end{aligned}

Variansen $\underline{\underline{\mathrm{Var}(X)=5{,}2}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for riktig verdi av $b$ og 1 poeng for riktig varians.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: diskrete sannsynlighetsfordelinger, varians
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler