Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x + 4$

2) $g(x) = 3e^{2x}$ — kjerneregel med $u = 2x$:

3) $h(x) = x \cdot e^{2x}$ — produktregel med $u = x$ og $v = e^{2x}$:

4) $i(x) = \ln(x^2 + 4)$ — kjerneregel med $u = x^2 + 4$:

Rekken $4 + 7 + 10 + 13 + \cdots$ er en aritmetisk rekke med

$a_n$: Vi bruker formelen $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$:

$S_n$: Vi bruker sumformelen $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$:

Venstresiden $x + x^2 + x^3 + \cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = x$ og kvotient $k = x$.

For $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$ konvergerer rekken, og vi bruker formelen $S = \dfrac{a_1}{1-k}$:

1) Siden $(x+4)$ skal gå opp i $f(x) = x^3 + ax + 12$, må $x = -4$ være et nullpunkt:

2) Vi utfører polynomdivisjon av $f(x) = x^3 - 13x + 12$ med $(x+4)$:

Vi sjekker: $(x+4)(x^2-4x+3) = x^3-4x^2+3x+4x^2-16x+12 = x^3-13x+12$ ✓

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$, så

Vi skriver opp delsummene:

Vi legger merke til at $S_1 = 1^3$, $S_2 = 2^3$, $S_3 = 3^3$, $S_4 = 4^3$.

Vi gjetter at $S_n = n^3$, og sjekker: $a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 - (n-1)^3$.

Vi verifiserer: $a_1 = 3-3+1=1$ ✓, $a_2 = 12-6+1=7$ ✓, $a_3 = 27-9+1=19$ ✓, $a_4 = 48-12+1=37$ ✓

Derfor er

1) $f'(x) = a(x+1)(x-2)$ med $a < 0$.

Nullpunktene er $x = -1$ og $x = 2$. Siden $a < 0$ er parabelen (andregrad) åpen nedover.

Fortegnslinje for $f'(x)$:

• $f'(x) < 0$ for $x < -1$: $f$ er synkende
• $f'(x) > 0$ for $-1 < x < 2$: $f$ er stigende
• $f'(x) < 0$ for $x > 2$: $f$ er synkende

Fortegnskiftet i $f'$ gir:

• $x = -1$: skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt
• $x = 2$: skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt

2) Vi utvider $f'(x) = a(x+1)(x-2) = a(x^2 - x - 2) = ax^2 - ax - 2a$ og deriverer:

$f''(x) = 0$ gir $x = \dfrac{1}{2}$.

Siden $a \neq 0$ skifter $f''$ fortegn her, så $f$ har et vendepunkt ved $x = \dfrac{1}{2}$.

Sannsynlighetsfordelingen er

Forventningsverdi:

Varians: