Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe

Ti elever skriver navnet sitt på hver sin lapp. Elevene legger de ti lappene i en hatt. Fra hatten trekkes fire lapper tilfeldig. De fire elevene som trekkes ut, skal være med i en arbeidsgruppe.

På hvor mange mulige måter kan arbeidsgruppen settes sammen?

Sju av de ti elevene er jenter. Resten er gutter.

Bestem sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen.

Emma og Marie er to av jentene.

Bestem sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen.

Fasit

$\underline{\underline{210 \text{ måter}}}$

$\underline{\underline{P(\text{minst 2 gutter}) = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}$

$\underline{\underline{P(\text{nøyaktig 1 av Emma/Marie}) = \dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne binomialkoeffisientene.

GeoGebra CAS – binomialkoeffisienter

Vi skal velge 4 elever fra 10 uten hensyn til rekkefølge. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten

\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \textbf{210}

Det er $\underline{\underline{210}}$ mulige måter å sette sammen arbeidsgruppen på.

Vi søker $P(\text{minst 2 gutter})$ . Det er lettest å bruke komplementregelen:

P(\text{minst 2 gutter}) = 1 - P(\text{0 gutter}) - P(\text{1 gutt})

Det er 3 gutter og 7 jenter blant de 10 elevene.

P(0 gutter): Alle 4 velges blant de 7 jentene.

P(\text{0 gutter}) = \frac{\binom{7}{4}}{\binom{10}{4}} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6}

P(1 gutt): Én gutt velges blant 3, tre jenter velges blant 7.

P(\text{1 gutt}) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{7}{3}}{\binom{10}{4}} = \frac{3 \cdot 35}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}

P(minst 2 gutter):

P(\text{minst 2 gutter}) = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%

Sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen er $\underline{\underline{\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de to jentene Emma og Marie blir med.

Vi deler de 10 elevene i to grupper: {Emma, Marie} (2 elever) og de øvrige 8 elevene.

Nøyaktig én av Emma/Marie betyr at vi velger 1 fra {Emma, Marie} og 3 fra de resterende 8.

P(\text{nøyaktig 1 av Emma/Marie}) = \frac{\binom{2}{1} \cdot \binom{8}{3}}{\binom{10}{4}} = \frac{2 \cdot 56}{210} = \frac{112}{210} = \frac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%

Sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen er $\underline{\underline{\dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}$ .

Sensorveiledning

1,3 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

1,3 poeng

Kandidater som regner ut sannsynligheten for to gutter får ingen uttelling.

1,3 poeng

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 2, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: kombinatorikk, sannsynlighet
Kompetansemål: Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen