Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Del 2 · oppgave 2
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Amalie arbeider med en funksjon ff med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f(x)={−9x−15,x≤−2■■■■,−2<x<1x22−x−72,x≥1f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ \blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases}

Hun husker at ff er kontinuerlig for alle x∈Rx \in \mathbb{R}. Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at f′(−2)=−9f'(-2) = -9 og f′(1)=0f'(1) = 0.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til ff.

Fasit

Delen som mangler er −1327x3+79x2−19x−11327-\dfrac{13}{27}x^{3} + \frac{7}{9}x^{2}- \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}

Løsningsforslag

For at ff skal være kontinuerlig så må funksjonsverdien for f(−2)=lim⁡x→−2+f(x)f(-2)=\lim_{ x \to -2^{+} }f(x) og f(1)=lim⁡x→1−f(x)f(1)=\lim_{ x \to 1^{-} }f(x). Vi sjekker funksjonsverdiene.

f(−2)=−9⋅(−2)−15=18−15=3f(1)=122−1−72=12−22−72=−82=−4\begin{aligned} f(-2)&=-9 \cdot (-2)-15=18-15=3 \\ f(1)&= \frac{1^{2}}{2}-1-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{8}{2}=-4 \end{aligned}

Tredjegradsfunksjonen vår bør altså gå mot 33 når x→−2+x\to-2^{+} og −4-4 når x→1−x\to 1^{-}.

I tillegg skal f′(−2)=−9f'(-2)=-9 og f′(1)=0f'(1)=0. Disse opplysningen sier oss at ff må være deriverbar i x=−2x=-2 og x=1x=1. Jeg setter opp uttrykket for en tredjegradsfunksjon i CAS i GeoGebra i linje 1 og legger inn de fire opplysningene våre i linje 2.

Løsning i CAS

Det fullstendige funksjonsuttrykket for ff er

f(x)={−9x−15,x≤−2−1327x3+79x2−19x−11327,−2<x<1x22−x−72,x≥1‾‾\underline{\underline{ f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^{3} + \frac{7}{9}x^{2}- \frac{1}{9}x - \frac{113}{27} \text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases} }}
Sensorveiledning

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene kan få 1 poeng.

Oppgavedata
Hentet fra
S1 V2025, del 2, oppgave 2
Kategori
3
Vanskegrad
3
Poeng
3
Temaer
kontinuitet, derivasjon, funksjoner
Kompetansemål
  • Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
  • Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer