Timelønn og lønnsvekst

Tabellen nedenfor viser timelønnen til en yrkesgruppe for noen år i perioden 2008-2022.

Årstall	2008	2010	2013	2015	2019	2022
Timelønn	272,55	285,50	307,30	314,00	327,60	340,10

Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?

Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentiell funksjon $g$ som er en modell for timelønnen til denne yrkesgruppen $x$ år etter 2008.

Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kroner i 2008. Per har hatt en lønnsutvikling tilsvarende tabellen i starten av oppgaven, mens Amalies lønn har steget med 2,3 prosent per år. De har begge jobbet 1700 timer per år.

Bestem den samlede lønnen til Amalie i årene 2008 til 2022. Bestem også den samlede lønnen til Per i disse årene.

Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Vi går ut fra at Amalie fortsatt vil ha en lønnsvekst på 2,3 prosent per år.

Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år dersom dette kravet skal innfris?

Fasit

1,59 %

$g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155^x$

Her kan ulike svar godtas. Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr

Omtrent 5,67 %

Løsningsforslag

Timelønna har vokst med $340{,}10-272{,}55=67{,}55$ kr i løpet av disse 14 årene. Vi kan sette opp dette uttrykket for å bestemme vekstfaktoren $x$

\begin{aligned} 272{,}55\cdot x^{14} &= 340{,}10\\ x &= \sqrt[14]{ \frac{340{,}10}{272{,}55} }\\ x &=1{,}01594 \end{aligned}

Den gjennomsnittlige årlige prosentvise økninga har vært 1,59 %.

Jeg brukte regresjon i GeoGebra og fant at en god eksponentialmodell for lønnsveksten er

g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155^x

Regneark og grafikkfelt i GeoGebra: tabellverdiene for timelønn er lagt inn som punkter, og eksponentiell regresjon gir kurven g(x) = 277,83 · 1,0155^x som følger punktene.

Hvis man skal regne Per sin lønn riktig så må man egentlig vite lønna hvert år og summere opp årslønnene som ei rekke. Jeg bruker heller modell $g$ som en tilnærming til Pers lønn.

For min del er det raskest å legge inn formelen =272,55*1,023^(2008-A2)*1700 i cellene til Amalie for å regne ut hennes lønn, og tilsvarende for Per.

År	Per	Amalie
2008	kr 472 260,00	kr 463 335,00
2009	kr 479 580,03	kr 473 991,71
2010	kr 487 013,52	kr 484 893,51
2011	kr 494 562,23	kr 496 046,07
2012	kr 502 227,94	kr 507 455,12
2013	kr 510 012,48	kr 519 126,59
2014	kr 517 917,67	kr 531 066,50
2015	kr 525 945,40	kr 543 281,03
2016	kr 534 097,55	kr 555 776,50
2017	kr 542 376,06	kr 568 559,36
2018	kr 550 782,89	kr 581 636,22
2019	kr 559 320,02	kr 595 013,86
2020	kr 567 989,48	kr 608 699,17
2021	kr 576 793,32	kr 622 699,25
2022	kr 585 733,62	kr 637 021,34
Sum	kr 7 906 612,22	kr 8 188 601,24

Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr.

Vi skal finne ut hvor mye Pers lønn må stige hvert år fra 2022 til 2025 for å bli lik Amalies lønn i 2025.

1. Finn Amalies timelønn i 2025: Amalie starter på 272,55 kr i 2008 og har en fast årlig vekst på 2,3 %. I 2025 ( $x=17$ år etter 2008) er hennes lønn:

272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx 401{,}27 \text{ kr}

2. Finn nødvendig vekstfaktor for Per: Pers lønn i 2022 er 340,10 kr (fra tabellen). La $k$ være den årlige vekstfaktoren fra 2022 til 2025 (3 år):

\begin{aligned} 340{,}10 \cdot k^3 &= 401{,}27 \\ k^3 &= \frac{401{,}27}{340{,}10} \approx 1{,}17986 \\ k &= \sqrt[3]{1{,}17986} \approx 1{,}0567 \end{aligned}

Dette tilsvarer en årlig vekst på omtrent 5,67 %.

Lønnen til Per må stige med omtrent 5,67 % hvert år fra 2022 for at de skal ha lik lønn i 2025.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidater som velger en strategi som kan føre fram til en prosentvis årlig endring, gis 1 poeng. Kandidaten gis 1 poeng for å bruke strategien korrekt fram til et riktig utregnet svar.

For å få full uttelling, må kandidaten kommunisere løsningen på en tilfredsstillende måte (med for eksempel skjermbilder eller forklaring av framgangsmåte). Rett svar med mangelfull kommunikasjon av framgangsmåte kan gi 1 poeng. Kandidater som lager en eksponentiell funksjon der $x=2008$ det første året (i stedet for $x=0$ ), kan få 1 poeng.

Det gis 1 poeng dersom kandidaten viser forståelse for hva som skal regnes ut og full uttelling dersom kandidaten i tillegg klarer å gjøre utregningene.

Det gis 1 poeng for å vise forståelse for situasjonen (for eksempel ved å sette opp en korrekt likning) og 1 poeng for å løse og tolke svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2023, del 2, oppgave 1
Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Prosentregning, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Økonomi, Vekstfaktor
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Timelønn og lønnsvekst

Sync på tvers av enheter

Timelønn og lønnsvekst

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave