Vareeksport modellering eksponential og lineær

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser verdien av den totale vareeksporten fra Norge for noen år i perioden 1980–2018.

År	1980	1990	2000	2010	2018
Verdien av vareeksporten (i milliarder kroner)	91,7	211,6	529,8	788,1	1000,3

Bruk tallene fra tabellen til å lage to ulike modeller som kan brukes til å anslå verdien av norsk vareeksport i årene framover. Begrunn hvilken av modellene du mener passer best i denne situasjonen. Kall denne modellen for $g$ .

Anslå den gjennomsnittlige årlige veksten av norsk vareeksport fra 2015 til 2025 for hver av de to modellene du fant i oppgave a).

Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 91 \cdot 1{,}057^x

er en modell for verdien av den totale vareimporten til Norge i milliarder kroner, $x$ år etter 1980.

Når vil verdien av vareimporten til Norge være 10 ganger større enn det den var i 1980?

Dersom verdien av vareeksporten i et land er større enn verdien av vareimporten, sier vi at landet har et handelsoverskudd.

Bruk modellene $f$ og $g$ til å vurdere når Norge har et handelsoverskudd.

Fasit

Lineær modell passer best: $g(x) = 24{,}90x + 36{,}32$

Lineær modell: ca. 24,9 mrd kr/år. Eksponentiell modell: ca. 55,4 mrd kr/år.

Ca. i løpet av 2021 (x ≈ 41,5)

Norge har handelsoverskudd for ca. $2{,}8 \leq x \leq 46{,}4$ , dvs. fra ca. 1983 til ca. 2026.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1980 og setter opp dataene:

$x$	0	10	20	30	38
$y$	91,7	211,6	529,8	788,1	1000,3

Vi bruker regresjonsverktøy til å finne to modeller:

Lineær regresjon:

g(x) = 24{,}90x + 36{,}32, \quad r^2 = 0{,}985

Eksponentiell regresjon:

h(x) = 173{,}29 \cdot 1{,}0486^x, \quad r^2 = 0{,}957

Den lineære modellen har høyere $r^2$ -verdi ( $0{,}985 > 0{,}957$ ), noe som tyder på at den passer bedre til dataene. I tillegg ser vi at veksten i vareeksporten avtar mot slutten av perioden, mens en eksponentiell modell vil gi stadig raskere vekst. Den lineære modellen beskriver denne tendensen bedre.

Vi velger derfor den lineære modellen som modell $g$ :

g(x) = 24{,}90x + 36{,}32

Gjennomsnittlig årlig vekst fra 2015 til 2025 tilsvarer intervallet fra $x = 35$ til $x = 45$ .

Lineær modell $g$ :

For en lineær funksjon er den gjennomsnittlige veksten lik stigningstallet, uavhengig av intervall:

\frac{g(45) - g(35)}{10} = \frac{(24{,}90 \cdot 45 + 36{,}32) - (24{,}90 \cdot 35 + 36{,}32)}{10} = \frac{24{,}90 \cdot 10}{10} \approx 24{,}9 \text{ mrd kr/år}

Eksponentiell modell $h$ :

\frac{h(45) - h(35)}{10} = \frac{173{,}29 \cdot 1{,}0486^{45} - 173{,}29 \cdot 1{,}0486^{35}}{10} \approx \frac{1465{,}3 - 911{,}8}{10} \approx 55{,}4 \text{ mrd kr/år}

De to modellene gir svært forskjellige anslag: den lineære modellen gir ca. 24,9 mrd kr/år, mens den eksponentielle gir ca. 55,4 mrd kr/år.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x) = 910$ , altså når importen er 10 ganger 1980-verdien ( $10 \cdot 91 = 910$ ):

91 \cdot 1{,}057^x = 910

Vi løser i CAS:

CAS-utklipp fra GeoGebra: linje 1 løser 91 · 1,057^x = 910 og gir x = 41,54. Linje 2 og 3 definerer f(x) = 91 · 1,057^x og g(x) = 24,9x + 36,32, og linje 4 løser g(x) = f(x) med løsningene x = 2,81 og x = 46,40.

CAS gir $x \approx 41{,}5$ .

$x = 41{,}5$ tilsvarer ca. midt i 2021. Vareimporten vil altså være 10 ganger 1980-verdien i løpet av 2021.

Vi kan også løse for hånd:

1{,}057^x = 10 \implies x = \frac{\ln 10}{\ln 1{,}057} \approx \frac{2{,}3026}{0{,}0555} \approx 41{,}5

Vi har eksportmodellen $g(x) = 24{,}90x + 36{,}32$ og importmodellen $f(x) = 91 \cdot 1{,}057^x$ .

Norge har handelsoverskudd når $g(x) > f(x)$ , dvs. når eksport er større enn import.

Fra CAS (linje 4 i screenshoten over) finner vi at $g(x) = f(x)$ når:

x \approx 2{,}81 \quad \text{og} \quad x \approx 46{,}40

Det vil si at grafene skjærer hverandre ca. i 1983 og ca. i 2026.

Vi sjekker for eksempel $x = 20$ (år 2000):

$g(20) = 24{,}90 \cdot 20 + 36{,}32 = 534{,}32$ mrd kr
$f(20) = 91 \cdot 1{,}057^{20} \approx 278{,}5$ mrd kr

Her er $g(20) > f(20)$ , så Norge har handelsoverskudd i dette intervallet.

Konklusjon: Norge har handelsoverskudd for $2{,}8 \lesssim x \lesssim 46{,}4$ , det vil si fra ca. 1983 til ca. 2026. Etter ca. 2026 vil importen (som vokser eksponentielt) overstige eksporten (som vokser lineært), og Norge vil få et handelsunderskudd.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 2, oppgave 3
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner

Vareeksport modellering eksponential og lineær

Sync på tvers av enheter

Vareeksport modellering eksponential og lineær

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave