Vi finner først en generell tangentligning til $f(x) = 1 - x^2$ i punktet $P(a, f(a))$.

Siden $f'(x) = -2x$, er stigningstallet til tangenten i $P$ lik $f'(a) = -2a$.

Tangentens ligning blir

$$t(x) = f(a) + f'(a)(x - a) = (1 - a^2) - 2a(x - a) = a^2 - 2ax + 1$$

Skjæringspunkt A med $x$-aksen ($y = 0$):

$$0 = a^2 - 2ax + 1 \implies x = \frac{a^2 + 1}{2a}$$

Så $A = \left(\dfrac{a^2+1}{2a},\ 0\right)$.

Skjæringspunkt B med $y$-aksen ($x = 0$):

$$t(0) = a^2 + 1$$

Så $B = (0,\ a^2 + 1)$.

a) Areal når $P = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}\right)$

Her er $a = \tfrac{1}{2}$.

$$OA = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4}$$ $$OB = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{5}{4}$$ $$T = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{32}$$

b) Minste mulige areal

Arealet av $\triangle OAB$ som funksjon av $a$ er

$$T(a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+1}{2a} \cdot (a^2+1) = \frac{(a^2+1)^2}{4a}, \quad a \in \langle 0, 1 \rangle$$

Vi deriverer og setter $T'(a) = 0$:

$$T'(a) = \frac{2(a^2+1) \cdot 2a \cdot 4a - (a^2+1)^2 \cdot 4}{(4a)^2}$$

Teller satt lik null (og $a^2+1 > 0$ kan forkortes):

$$4a \cdot 2(a^2+1) - 4(a^2+1)^2 = 0$$ $$4(a^2+1)\bigl[2a - (a^2+1)\bigr] \cdot \ldots$$

Vi bruker kvotientregelen direkte. Med $u = (a^2+1)^2$ og $v = 4a$:

$$T'(a) = \frac{4a(a^2+1) \cdot 2a - (a^2+1)^2 \cdot 4}{16a^2} = \frac{4(a^2+1)\bigl[2a^2 - (a^2+1)\bigr]}{16a^2} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{4a^2} \cdot \ldots$$

CAS gir

$$T'(a) = \frac{3a^4 + 2a^2 - 1}{4a^2}$$

Telleren faktoriseres:

$$3a^4 + 2a^2 - 1 = (3a^2 - 1)(a^2 + 1)$$

Siden $a^2 + 1 > 0$ for alle $a$, er $T'(a) = 0$ bare når $3a^2 - 1 = 0$, det vil si

$$a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

(Vi forkaster den negative løsningen siden $a \in \langle 0, 1 \rangle$.)

Fortegnslinjen til $T'(a)$:

	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$
$T'(a)$		$-$	$0$
$T(a)$		$\searrow$	min

$T$ har et (globalt) minimum ved $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Minste areal:

$$T\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\left(\frac{1}{3}+1\right)^2}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2}{\frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$$

Det minste arealet av $\triangle OAB$ er $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.