Kuleflate og plan

Punktene $A(1, 2, 1)$ og $B(3, 0, -3)$ ligger på en kuleflate. $AB$ er en diameter til kuleflaten. Planet $\gamma$ er gitt ved likningen $x + 2y + 2z = 14$ .

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet $\gamma$ .

Et plan $\alpha$ har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet $\gamma$ .

Bestem en likning for planet $\alpha$ .

Fasit

$\underline{\underline{4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55}}$

$\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å utføre beregningene.

Kuleflate og plan – CAS-beregninger

Sentrum og radius:

Siden $AB$ er diameter, er sentrum $M$ midtpunktet av $AB$ :

M = \left(\frac{1+3}{2},\ \frac{2+0}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right) = (2, 1, -1)

Radius er halvparten av $|AB|$ :

r = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2 + (-3-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4+4+16}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}

Planet $\gamma$ har normalvektor $\mathbf{n} = (1, 2, 2)$ med $|\mathbf{n}| = \sqrt{1+4+4} = 3$ .

Avstanden fra sentrum $M(2, 1, -1)$ til planet $\gamma\colon x + 2y + 2z = 14$ er:

d(M, \gamma) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 14|}{3} = \frac{|2 + 2 - 2 - 14|}{3} = \frac{12}{3} = 4

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum minus radius:

d_{\min} = d(M, \gamma) - r = 4 - \sqrt{6} \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}55}}}

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet $\gamma$ er $4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55$ .

Planet $\alpha$ er parallelt med $\gamma$ , altså på formen $x + 2y + 2z = D$ .

Avstanden fra $M(2, 1, -1)$ til $\alpha$ er den samme som til $\gamma$ , det vil si $4$ , men $\alpha$ ligger på motsatt side av sentrum:

d(M, \alpha) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - D|}{3} = \frac{|2 - D|}{3} = 4

|2 - D| = 12 \implies D = 14 \quad \text{eller} \quad D = -10

$D = 14$ gir planet $\gamma$ selv, så $\alpha$ har $D = -10$ .

En likning for planet $\alpha$ er $\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 2, oppgave 5
Poeng: 4
Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet