Grafens lengde med polylinje

For en deriverbar funksjon $f$ kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to $x$ -verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.

Polylinje langs graf

Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall $[a,b]$ , kan vi dele dette intervallet i $N$ like store delintervall $[x_i, x_{i+1}]$ med bredde $h = \dfrac{b-a}{N}$ og $x_i = a + i \cdot h$ .

Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene $(x_i, f(x_i))$ og $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$ . Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra $x = a$ til $x = b$ .

Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet $(x_i, f(x_i))$ til punktet $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$ , er gitt ved

S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}, \quad \text{der } k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = \sqrt{1 - x^2}, \quad D_g = [-1, 1]

$S_{i}, k_{i} og h_{i}$

Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til $g$ ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.

Fasit

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{L \approx 3{,}1416}}$ (konvergerer mot $\pi$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på linjestykket fra $(x_i,\, f(x_i))$ til $(x_{i+1},\, f(x_{i+1}))$ .

Den horisontale komponenten er

\Delta x = x_{i+1} - x_i = h

og den vertikale komponenten er

k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)

Disse to komponentene utgjør katetene i en rettvinklet trekant der linjestykket er hypotenusen. Pythagoras’ setning gir da

S_i = \sqrt{(\Delta x)^2 + k_i^2} = \sqrt{h^2 + k_i^2}

Vi deler $[-1, 1]$ i $N = 1000$ like store delintervall og summerer lengdene $S_i$ :

import math
a, b, N = -1, 1, 1000
h = (b - a) / N
L = 0
for i in range(N):
    xi = a + i * h
    xj = a + (i + 1) * h
    ki = math.sqrt(max(1 - xj**2, 0)) - math.sqrt(max(1 - xi**2, 0))
    L += math.sqrt(h**2 + ki**2)
print(L)   # ≈ 3,1416

Programmet gir $L \approx 3{,}1416$ .

Rimelighetsvurdering: Funksjonen $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ er den øvre halvdelen av enhetssirkelen (radius $r = 1$ ). Den eksakte buelengden er halve omkretsen av enhetssirkelen:

L = \frac{2\pi r}{2} = \pi \approx 3{,}14159\ldots

Tilnærmingen $3{,}1416$ stemmer godt med $\pi$ , noe som bekrefter at svaret er rimelig.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 6
Temaer: integral, programmering
Kompetansemål: Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene
Gjøre rede for integral som en grenseverdi av en følge av summer, og tolke betydningen av denne grenseverdien i ulike situasjoner
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter