Vi plasserer halvkulen med snittflaten som en sirkulær disk i planet $z = 0$, med sentrum i origo. Halvkulen har likningen $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ for $z \geq 0$.

Oppsett av pyramiden

Grunnflaten er et rektangel med sider $2x$ og $2y$ innskrevet i sirkelen $x^2 + y^2 = r^2$. Pyramidens topp ligger på halvkulen rett over sentrum, i punktet $(0, 0, h)$.

Toppen på halvkulen gir høyden $h = r$ (fast, siden $x = y = 0$ gir $z = r$).

Volumet av pyramiden er:

$$V = \frac{h \cdot G}{3} = \frac{r \cdot 4xy}{3} = \frac{4r}{3} \cdot xy$$

Maksimering med GeoGebra CAS

Vi setter $G = 4xy$ der $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ (fra sirkelbetingelsen), og definerer volumfunksjonen:

$$V(x) = \frac{4r}{3} \cdot x \cdot \sqrt{r^2 - x^2}$$

Vi deriverer og setter den deriverte lik null med CAS:

CAS gir $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot r = \dfrac{r}{\sqrt{2}}$ (tar positiv verdi). Da er $y = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = \dfrac{r}{\sqrt{2}}$, det vil si $x = y$.

Grunnflaten er et kvadrat med side $2x = 2 \cdot \dfrac{r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.

Største volum

CAS bekrefter at maksimalt volum er:

$$V_{\max} = \frac{2}{3} r^2 \cdot |r| = \frac{2r^3}{3}$$

$\underline{\underline{V_{\max} = \dfrac{2r^3}{3}}}$