To biler på kryss og motorvei

To biler, A og B, kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil A er gitt ved $\overrightarrow{r_A}(t)$ , og posisjonen til bil B er gitt ved $\overrightarrow{r_B}(t)$ , der

\overrightarrow{r_A}(t) = \left[\frac{1}{2}(t-4),\ t\right] \quad \text{og} \quad \overrightarrow{r_B}(t) = \left[\frac{1}{2}t,\ \frac{3}{2}\left(t-\frac{1}{5}\right)\right].

Her er $t$ tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

Fasit

$\underline{\underline{\frac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \, \mathrm{km}}}$

$\underline{\underline{\text{Bil B er på motorveien}}}$ (fart $\approx 94{,}9 \, \mathrm{km/h}$ )

$\underline{\underline{\text{Bil B kommer til veikrysset først}}}$ , 4 minutter før bil A

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregninger (se utklipp under).

GeoGebra CAS – To biler på kryss og motorvei

Vi regner ut posisjonene til de to bilene ved $t = 1$ :

\overrightarrow{r_A}(1) = \left[\frac{1-4}{2},\ 1\right] = \left[-\frac{3}{2},\ 1\right]

\overrightarrow{r_B}(1) = \left[\frac{1}{2},\ \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{5}\right)\right] = \left[\frac{1}{2},\ \frac{6}{5}\right]

Avstandsvektoren fra A til B ved $t = 1$ er (se linje 5 i CAS):

\overrightarrow{r_B}(1) - \overrightarrow{r_A}(1) = \left[2,\ \frac{1}{5}\right]

Avstanden er lengden av denne vektoren (se linje 6 i CAS):

\left|\overrightarrow{r_B}(1) - \overrightarrow{r_A}(1)\right| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{101}{25}} = \frac{\sqrt{101}}{5}

Avstanden mellom bilene etter 1 minutt er $\underline{\underline{\dfrac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \, \mathrm{km}}}$ .

Hastighetsvektorene finner vi ved å derivere posisjonsvektorene med hensyn på $t$ (se linje 3 og 4 i CAS):

\overrightarrow{v_A} = \overrightarrow{r_A}'(t) = \left[\frac{1}{2},\ 1\right], \qquad \overrightarrow{v_B} = \overrightarrow{r_B}'(t) = \left[\frac{1}{2},\ \frac{3}{2}\right]

Fartene (km/min) er lengdene av hastighetsvektorene (se linje 7 og 8 i CAS):

|\overrightarrow{v_A}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}12 \, \mathrm{km/min}

|\overrightarrow{v_B}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}58 \, \mathrm{km/min}

Omregnet til km/h:

|\overrightarrow{v_A}| \approx 1{,}12 \cdot 60 \approx 67{,}1 \, \mathrm{km/h}

|\overrightarrow{v_B}| \approx 1{,}58 \cdot 60 \approx 94{,}9 \, \mathrm{km/h}

$\underline{\underline{\text{Bil B er på motorveien}}}$ , fordi den har høyest fart (≈ 94,9 km/h mot 67,1 km/h for bil A).

Veiene er rette linjer. Vi finner likningen for hver vei ved å eliminere $t$ fra posisjonsvektorene.

Vei A: Fra $\overrightarrow{r_A}(t) = \left[\frac{t-4}{2},\ t\right]$ får vi $x = \frac{t-4}{2}$ og $y = t$ , altså $t = y$ og $x = \frac{y-4}{2}$ , som gir:

y = 2x + 4

Vei B: Fra $\overrightarrow{r_B}(t) = \left[\frac{t}{2},\ \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{5}\right)\right]$ får vi $x = \frac{t}{2}$ og $y = \frac{3}{2}t - \frac{3}{10}$ , altså $t = 2x$ og $y = 3 \cdot 2x - \frac{3}{10}$ , som gir:

y = 3x - \frac{3}{10}

Veiene er lagt inn som VeiA og VeiB i CAS (linje 9 og 10). Skjæringspunktet Veikryss beregnes i linje 11:

\text{Veikryss} = \left(\frac{43}{10},\ \frac{63}{5}\right) = \left(4{,}3,\ 12{,}6\right)

Nå finner vi når hver bil er i veikrysset.

Bil A: $y$ -koordinaten til $\overrightarrow{r_A}(t)$ er $y = t$ , så bil A er i veikrysset når $t_A = 12{,}6 \, \mathrm{min}$ .

Bil B: $x$ -koordinaten til $\overrightarrow{r_B}(t)$ er $x = \frac{t}{2}$ , så bil B er i veikrysset når $t_B = 2 \cdot 4{,}3 = 8{,}6 \, \mathrm{min}$ .

$\underline{\underline{\text{Bil B kommer til veikrysset først}}}$ , 4 minutter før bil A ( $t_B = 8{,}6 \, \mathrm{min}$ , $t_A = 12{,}6 \, \mathrm{min}$ ).

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 2, oppgave 3
Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer