Omvendt funksjon av x^4 og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør for hver av funksjonene nedenfor om den har en omvendt funksjon. Husk å begrunne svaret.

$f(x) = x^4$ , $D_f = \mathbb{R}$

$g(x) = e^{-(x-2)^2}$ , $D_g = [2, \to\rangle$

Fasit

$f(x) = x^4$ har ikke omvendt funksjon på $D_f = \mathbb{R}$ .

$g(x) = e^{-(x-2)^2}$ har omvendt funksjon på $D_g = [2, \to\rangle$ . Den omvendte funksjonen er $g^{-1}(x) = 2 + \sqrt{-\ln x}$ , $D_{g^{-1}} = \langle 0, 1]$ .

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon har omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ulike $x$ -verdier alltid gir ulike funksjonsverdier.

Vi ser at

f(1) = 1^4 = 1 \quad \text{og} \quad f(-1) = (-1)^4 = 1

Her er $f(1) = f(-1)$ , men $1 \neq -1$ . Siden to ulike $x$ -verdier gir samme funksjonsverdi, er $f$ ikke injektiv på $\mathbb{R}$ .

$f(x) = x^4$ har derfor ingen omvendt funksjon på $D_f = \mathbb{R}$ .

Vi undersøker om $g(x) = e^{-(x-2)^2}$ er injektiv på $D_g = [2, \to\rangle$ .

Deriverer:

g'(x) = -2(x-2) \cdot e^{-(x-2)^2}

For $x > 2$ er $(x-2) > 0$ , og siden $e^{-(x-2)^2} > 0$ alltid, får vi

g'(x) = -2(x-2) \cdot e^{-(x-2)^2} < 0

$g$ er altså strengt avtakende på $[2, \to\rangle$ . En strengt monoton funksjon er injektiv, så $g$ har omvendt funksjon.

Vi finner den omvendte funksjonen ved å bytte om $x$ og $y$ og løse for $y$ :

x = e^{-(y-2)^2}

\ln x = -(y-2)^2

(y-2)^2 = -\ln x

y - 2 = \sqrt{-\ln x}

(Positiv rot siden $y \geq 2$ på $D_g$ .)

y = 2 + \sqrt{-\ln x}

Definisjonsmengde for $g^{-1}$ : Verdimengden til $g$ på $[2, \to\rangle$ blir definisjonsmengden til $g^{-1}$ . Vi har $g(2) = e^0 = 1$ og $g(x) \to 0$ når $x \to \infty$ , så verdimengden til $g$ er $\langle 0, 1]$ .

Dermed:

g^{-1}(x) = 2 + \sqrt{-\ln x}, \quad D_{g^{-1}} = \langle 0, 1]

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 1, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner

Omvendt funksjon av x^4 og eksponentialfunksjon

Sync på tvers av enheter

Omvendt funksjon av x^4 og eksponentialfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave