For at $f$ skal ha en omvendt funksjon på $D_f = [-3, \to\rangle$, må $f$ være strengt monoton (voksende eller avtagende) på hele definisjonsmengden.

Vi deriverer:

$$f'(x) = 4x^3 - 3bx^2 = x^2(4x - 3b)$$

Siden $x^2 \geq 0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f'(x)$ av faktoren $(4x - 3b)$.

$f'(x) = 0$ når $x = 0$ eller $x = \dfrac{3b}{4}$.

For at $f$ skal være strengt voksende på $[-3, \to\rangle$, må $f'(x) \geq 0$ for alle $x \in [-3, \to\rangle$, med $f'(x) = 0$ kun i isolerte punkter. Det betyr at $(4x - 3b) \geq 0$ for alle $x \geq -3$.

Det kritiske stedet er $x = -3$ (det minste $x$-verdien i $D_f$):

$$4 \cdot (-3) - 3b \geq 0 \implies -12 - 3b \geq 0 \implies b \leq -4$$

Kontroll for $b = -4$: Da er $f'(x) = x^2(4x+12) = 4x^2(x+3)$.

For $x \in [-3, \to\rangle$ er $x^2 \geq 0$ og $(x+3) \geq 0$, så $f'(x) \geq 0$. Likhet inntreffer kun i $x = -3$ og $x = 0$, som er isolerte punkter – $f$ er likevel strengt voksende. ✓

For $b < -4$: Nullpunktet $x = \tfrac{3b}{4} < -3$ ligger utenfor $D_f$, og $(4x - 3b) > 0$ for alle $x > -3$, så $f'(x) > 0$ på $\langle -3, \to\rangle$. ✓

For $b > -4$: Nullpunktet $x = \tfrac{3b}{4} > -3$ ligger inne i $D_f$, og $f'$ skifter fortegn der – $f$ er ikke monoton. ✗

$f$ har omvendt funksjon på $[-3, \to\rangle$ når

$$\boxed{b \leq -4}$$