Hoppekreps – lineær og eksponentiell modell med regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lars og Lene forsker på hvordan antallet hoppekreps i et ferskvann endrer seg. Tabellen nedenfor viser antall observerte hoppekreps noen dager i april og mai.

Dato	30.04	03.05	04.05	06.05
Antall hoppekreps	10 000	20 000	30 000	120 000

Ut fra disse observasjonene vil Lars og Lene lage ulike modeller. De lar $x$ være antall dager etter 30. april.

Når Lars lager sin modell, antar han at antallet hoppekreps øker med et fast antall hver dag.

Bestem modellen han da får. Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.

Når Lene lager sin modell, antar hun at antallet hoppekreps øker med en fast prosent hver dag.

Bestem modellen hun da får. Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.

Ved å bruke regresjon har Lene i tillegg funnet modellen $h$ gitt ved

h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000

Vis hvordan hun har gått fram for å finne denne modellen.

Tegn grafen til modellen fra oppgave b) og grafen til $h$ i samme koordinatsystem, og beskriv forskjeller og likheter mellom de to modellene.

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 16\,800x - 9\,600}}$ (lineær regresjon)

$\underline{\underline{g(x) \approx 7\,961 \cdot 1{,}49^x}}$ (eksponentiell regresjon)

Tredjegradsregresjon i GeoGebra gjennom alle fire datapunkter gir $h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000$

Se graf. Kubikkmodellen $h$ treffer alle fire datapunkter nøyaktig, mens den eksponentielle $g$ bommer litt på punktene. Begge vokser raskt for store $x$ .

LøsningsforslagKI-generert

Lars antar at antallet hoppekreps øker med et fast antall per dag. Det betyr at han bruker en lineær modell. Siden vi har fire datapunkter og hjelpemidler, bruker vi lineær regresjon i GeoGebra.

Vi fører datapunktene $(0,\,10000)$ , $(3,\,20000)$ , $(4,\,30000)$ og $(6,\,120000)$ inn i regnearket og velger regresjonsanalyse med lineær modell. GeoGebra gir:

\underline{\underline{f(x) = 16\,800x - 9\,600}}

Hva tallene betyr:

$16\,800$ er den daglige økningen i antall hoppekreps (stigningstallet).
$-9\,600$ har ingen praktisk betydning. Et konstantledd skulle vært antallet hoppekreps på dag $0$ , men dette tallet er negativt, og et antall hoppekreps kan ikke være negativt (vi vet dessuten at det var $10\,000$ den 30. april). Modellen treffer altså ikke datamaterialet særlig godt.

Lene antar at antallet hoppekreps øker med en fast prosent per dag. Det betyr at hun bruker en eksponentiell modell av typen $g(x) = a \cdot b^x$ . Vi bruker samme datapunkter, men velger eksponentiell regresjon i GeoGebra:

\underline{\underline{g(x) \approx 7\,961 \cdot 1{,}49^x}}

Hva tallene betyr:

$7\,961$ er startverdien. Ifølge Lenes modell var det omtrent $8\,000$ hoppekreps på dag $0$ (30. april), noe som ikke avviker så mye fra det riktige antallet $10\,000$ .
$1{,}49$ er vekstfaktoren per dag. Siden $1{,}49 - 1 = 0{,}49$ , betyr det at antallet øker med omtrent $49 \,\%$ per dag.

For å finne kubikkmodellen $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ bruker Lene regresjon i GeoGebra.

Fremgangsmåte i GeoGebra:

Skriv inn datapunktene som en liste i GeoGebra:

\text{Data} = \{(0,\, 10000),\; (3,\, 20000),\; (4,\, 30000),\; (6,\, 120000)\}

Bruk regresjonskommandoen for tredjegradspolynom:

\texttt{FitPoly(Data, 3)}

GeoGebra beregner koeffisientene ved å løse et likningssystem med fire ligninger (ett for hvert datapunkt) og fire ukjente ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ).

Verifisering: Siden vi har nøyaktig fire datapunkter og fire koeffisienter, går kubikkmodellen gjennom alle punktene eksakt:

$x$	$h(x)$	Observert
$0$	$10\,000$	$10\,000$
$3$	$\approx 20\,000$	$20\,000$
$4$	$\approx 30\,000$	$30\,000$
$6$	$\approx 120\,000$	$120\,000$

Resultatet er:

\underline{\underline{h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000}}

Vi tegner grafene til $g(x) \approx 7961 \cdot 1{,}49^x$ og $h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000$ i GeoGebra, sammen med de fire datapunktene.

I GeoGebra:

Skriv inn $g(x) = 7961 \cdot 1.49^x$ (blå kurve)
Skriv inn $h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000$ (grønn kurve)
Legg inn datapunktene $(0, 10000)$ , $(3, 20000)$ , $(4, 30000)$ , $(6, 120000)$

Graf av g(x) og h(x) med datapunkter

Likheter og forskjeller:

Likheter:

Begge modellene starter omtrent ved riktig startverdi ( $g(0) \approx 7\,961$ og $h(0) = 10\,000$ ) den 30. april.
Etter begge modellene vil bestanden øke kraftig og vokse over alle grenser etter noen få dager.

Forskjeller:

$h(x)$ (kubikkmodellen) treffer alle fire datapunkter nøyaktig, mens $g(x)$ bommer litt på punktene.
$h(x)$ har et lokalt toppunkt rundt dag $1$ og synker litt før den stiger igjen. Ifølge denne modellen skulle altså bestanden gå litt ned før den øker — noe som neppe stemmer med virkeligheten.
$g(x)$ er en jevn, alltid voksende og alltid positiv kurve, og er på den måten mer realistisk i formen — den har hatt et visst antall hoppekreps hele tiden som bestanden kan utvikle seg fra.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2020, del 2, oppgave 4
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Graf

Hoppekreps – lineær og eksponentiell modell med regresjon

Sync på tvers av enheter

Hoppekreps – lineær og eksponentiell modell med regresjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave