Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

TRYM: Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.

TRYM: Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.

Løs oppgaven elevene arbeider med.

Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».

Fasit

Topp i $(0, 2)$ og bunn i $(2, -2)$ .

Det vil alltid være et stasjonært punkt på $y$ -aksen for slike funksjoner.

Løsningsforslag

Jeg tegnet grafen til $f$ i GeoGebra og fant ekstremalpunktene, se $A$ og $B$ i utklippet.

$f$ har toppunkt i $(0, 2)$ og bunnpunkt i $(2, -2)$ .

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd har den generelle formen

P(x)=ax^3+bx^2+c

Den deriverte $P'(x)$ gir oss den momentane vekstfarten for hver $x$ -verdi. Når den momentane vekstfarten er lik null så verken vokser eller minker funksjonen $\implies$ vi må da befinne oss i et stasjonært punkt.

\begin{aligned} P'(x)&=3ax^2+2bx\\ 0&=3ax^2+2bx\\ 0&=(3ax+2b)x\\ 3ax+2b=0 &\vee x=0\\ 3ax=-2b &\vee x=0\\ x=\frac{-2b}{3a} &\vee x=0 \end{aligned}

Vi ser at $x=0$ alltid vil gi et stasjonært punkt i $(0, P(0))$ for slike tredjegradsfunksjoner. Stasjonære punkter er ikke bare topp- eller bunnpunkter, det kan også være terrassepunkter slik som grafen til $x^3$ viser.

Del 2 oppgave 6b. Bruk av glidere til utforskning

Ved å tegne grafen til $P(x)=ax^3+bx^2+c$ i GeoGebra og justere på glidere for $a, b, c$ så ser det ut til at vi kun får terrassepunkter dersom $b=0$ . Hvis $b\neq 0$ så ser det ut til at vi får både et toppunkt og et bunnpunkt. Hvis $b>0$ så er det bunnpunktet som befinner seg på $y$ -aksen og hvis $b<0$ så er det toppunktet som befinner seg på $y$ -aksen. Det ser også ut til at topp- og bunnpunktet går nærmere hverandre når jeg justerer $b$ slik at den blir nærmere 0.

Vi kan også se at $b=0$ vil gi et terrassepunkt fra løsningene av $P'(x)=0$ som vi fant tidligere. Den ene løsningen vil alltid være $x=0$ . Den andre løsningen, $x=\frac{-2b}{3a}$ , vil også bli null dersom koeffisienten foran andregradsleddet, $b$ , er lik null. Dermed vil på vår toppunktsløsning og bunnpunktsløsning ligge i det samme punktet $\implies$ vi får et terrassepunkt.

Trym sin regel er nesten riktig. Det vil alltid være et topp- eller bunnpunkt på $y$ -aksen dersom tredjegradsfunksjonen mangler førstegradsledd, men har et andregradsledd. Det vil imidlertid alltid være et stasjonært punkt på $y$ -aksen dersom funksjonen mangler førstegradsleddet.

\clearpage

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktige svar, kan få 1 poeng.

6 poeng

For å få full uttelling må kandidaten argumentere på en presis måte.

Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2023, del 2, oppgave 6
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: utforskning, glidere, cas, funksjoner, geogebra
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar