Vurder påstander om rekke, plan og areal

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand: Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1 + (\ln x - 1) + (\ln x - 1)^2 + \cdots$

Påstand: Dersom $x = \dfrac{1}{e}$ vil summen av rekka være $\dfrac{1}{3}$ .

To funksjoner er gitt ved $f(x) = x^3 - x^2 - ax$ , der $a \in \mathbb{R}$ , og $g(x) = -x^2 + x$ .

Påstand: Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a > -1$ .

Fasit

Usann – tre kollineære punkter bestemmer ikke et entydig plan

Usann – rekka divergerer for $x = \dfrac{1}{e}$

Sann – de to arealene er like store

Løsningsforslag

Påstand: Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.

Påstanden er usann. Tre punkter bestemmer et entydig plan hvis og bare hvis de ikke er kollineære (ikke ligger på samme rette linje). Hvis tre punkter er kollineære, spenner vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ over det samme retningsrommet, og kryssprodukt $\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}$ . Vi får dermed ingen normalvektor og kan ikke bestemme planet entydig.

Moteksempel: La $A=(0,0,0)$ , $B=(1,0,0)$ og $C=(2,0,0)$ . Disse tre punktene ligger på $x$ -aksen, og uendelig mange plan inneholder denne linja (f.eks. $y=0$ -planet, $z=0$ -planet, $y=z$ -planet m.fl.).

Påstanden er usann.

Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

s=\frac{a_{1}}{1-k}

dersom $-1< k<1$ .

Hvis vi vi lar $x=\frac{1}{e}$ så vil rekka bli

1+ \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right) + \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right)^{2} + \dots

La oss se hva $\ln \frac{1}{e}-1$ blir

\ln \frac{1}{e}-1=\ln 1 - \ln e - 1=0-1-1=-2

Det første leddet i rekka er $a_{1}=1$ og det andre leddet er $a_{2}=-2$ , det vil si at

k=\frac{-2}{1}=-2

$k$ ligger ikke i intervallet $\langle-1,1\rangle$ , og dermed konvergerer ikke rekka.

Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når $x=\frac{1}{e}$ .

$f$ og $g$ kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden $f$ er en tredjegradsfunksjon og $g$ er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Bestemmelse av skjæringspunktet mellom funksjoner i CAS

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at $a>-1$ gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Bestemmelse av arealet mellom grafene

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer fram til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekker, vektorer, integral, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet