Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

Gitt et prisme med kvadratisk grunnflate, og en sylinder. Begge har samme høyden, $h$ . Sidekanten i prismet er $2 r$ , der $r$ er radius i sylinderen. Se figurene nedenfor.

Prisme med kvadratisk grunnflate med sidekant 2r og høyde h, og sylinder med radius r og høyde h

Kalkulator

I tabellen nedenfor har vi regnet ut volumet og overflaten av prismet og sylinderen når $r = 1,0 c m$ og $h = 3,0 c m$ . Vi har også regnet ut forholdet $\frac{Volum}{Overflate}$ for prismet og for sylinderen.

Kontroller svarene i tabellen.

Tegn av tabellen på arket ditt. Gjør beregninger, og fyll ut det som mangler i tabellen. Finner du noen sammenheng? Kommenter.

Radius, $r$	$1,0 c m$	$4,0 c m$	$3,0 c m$
Høyde, $h$	$3,0 c m$	$2,0 c m$	$8,0 c m$
Volumet av prismet ( $c m^{3}$ )	$12$
Overflaten av prismet ( $c m^{2}$ )	$32$
Forholdet Volum/Overflate for prismet ( $cm$ )	$3 / 8 = 0,375$
Volumet av sylinderen ( $c m^{3}$ )	$3 π \approx 9,42$
Overflaten av sylinderen ( $c m^{2}$ )	$8 π \approx 25,1$
Forholdet Volum/Overflate for sylinderen ( $cm$ )	$3 / 8 = 0,375$

For hånd

Finn volumet og overflaten av prismet uttrykt ved $r$ og $h$ , og finn et uttrykk for forholdet $\frac{Volum}{Overflate}$ for prismet.

For hånd

Finn volumet og overflaten av sylinderen uttrykt ved $r$ og $h$ , og finn et uttrykk for forholdet $\frac{Volum}{Overflate}$ for sylinderen.

For hånd

Kommenter de resultatene du fant i a), b) og c).

Fasit

Se utfylt tabell nedenfor.

$V = 4 r^{2} h$ , $O = 8 r^{2} + 8 r h$ , $\frac{V}{O} = \frac{r h}{2 (r + h)}$

$V = π r^{2} h$ , $O = 2 π r^{2} + 2 π r h$ , $\frac{V}{O} = \frac{r h}{2 (r + h)}$

$Forholdet Volum/Overflate er likt for prismet og sylinderen, uansett r og h$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kontrollerer tallene i første kolonne ( $r = 1,0 cm$ , $h = 3,0 cm$ ):

\begin{matrix} V_{prisme} & = {(2 r)}^{2} \cdot h = {(2 \cdot 1,0)}^{2} \cdot 3,0 = 12 {cm}^{3} \\ O_{prisme} & = 2 {(2 r)}^{2} + 4 (2 r) h = 2 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \cdot 3,0 = 32 {cm}^{2} \\ V_{sylinder} & = π r^{2} h = π \cdot {1,0}^{2} \cdot 3,0 = 3 π \approx 9,42 {cm}^{3} \\ O_{sylinder} & = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π \cdot 1,0 + 2 π \cdot 1,0 \cdot 3,0 = 8 π \approx 25,1 {cm}^{2} \end{matrix}

Tallene i tabellen stemmer.

Vi regner så ut de samme størrelsene for $r = 4,0 cm$ , $h = 2,0 cm$ og for $r = 3,0 cm$ , $h = 8,0 cm$ , med samme formler:

Radius, $r$	$1,0 c m$	$4,0 c m$	$3,0 c m$
Høyde, $h$	$3,0 c m$	$2,0 c m$	$8,0 c m$
Volumet av prismet ( $c m^{3}$ )	$12$	$128$	$288$
Overflaten av prismet ( $c m^{2}$ )	$32$	$192$	$264$
Forholdet Volum/Overflate for prismet ( $cm$ )	$3 / 8 = 0,375$	$2 / 3 \approx 0,667$	$12 / 11 \approx 1,09$
Volumet av sylinderen ( $c m^{3}$ )	$3 π \approx 9,42$	$32 π \approx 100,5$	$72 π \approx 226,2$
Overflaten av sylinderen ( $c m^{2}$ )	$8 π \approx 25,1$	$48 π \approx 150,8$	$66 π \approx 207,3$
Forholdet Volum/Overflate for sylinderen ( $cm$ )	$3 / 8 = 0,375$	$2 / 3 \approx 0,667$	$12 / 11 \approx 1,09$

Vi ser en tydelig sammenheng: for hvert sett med $r$ og $h$ er forholdet $\frac{Volum}{Overflate}$ nøyaktig det samme for prismet og sylinderen.

For prismet med sidekant $2 r$ og høyde $h$ :

V_{prisme} = {(2 r)}^{2} \cdot h = 4 r^{2} h

Overflaten består av to kvadratiske endeflater og fire rektangulære sideflater:

O_{prisme} = 2 \cdot {(2 r)}^{2} + 4 \cdot (2 r) \cdot h = 8 r^{2} + 8 r h = 8 r (r + h)

Forholdet blir da

\frac{V_{prisme}}{O_{prisme}} = \frac{4 r^{2} h}{8 r (r + h)} = \frac{r h}{2 (r + h)}

For sylinderen med radius $r$ og høyde $h$ :

V_{sylinder} = π r^{2} h

O_{sylinder} = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)

Forholdet blir da

\frac{V_{sylinder}}{O_{sylinder}} = \frac{π r^{2} h}{2 π r (r + h)} = \frac{r h}{2 (r + h)}

Resultatene i a), b) og c) viser den samme sammenhengen: forholdet $\frac{Volum}{Overflate}$ er

\frac{V}{O} = \frac{r h}{2 (r + h)}

for både prismet og sylinderen. Formelen er uavhengig av formen på legemet — den avhenger bare av $r$ og $h$ . Dette stemmer med tallene i tabellen i a), der forholdet ble likt for prismet og sylinderen i alle tre kolonnene.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P H2008, del 2, oppgave 6-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Romgeometri, Algebra

Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder

Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer