Vi setter opp et koordinatsystem med $z = 0$ i midten av tønna, slik at tønna strekker seg fra $z = -37{,}5$ til $z = 37{,}5 \, \mathrm{cm}$ (høyde 75 cm).

Modell for radiusfunksjonen

Siden tønna er symmetrisk og siden er formet som en parabel, velger vi

$$r(z) = 26 + a \cdot z^2$$

der $r(0) = 26 \, \mathrm{cm}$ (største radius, diameter 52 cm).

Randbetingelse: $r(\pm 37{,}5) = 22{,}5 \, \mathrm{cm}$ (radius i bunn/topp, diameter 45 cm):

$$22{,}5 = 26 + a \cdot 37{,}5^2$$ $$a = \frac{22{,}5 - 26}{37{,}5^2} = \frac{-3{,}5}{1406{,}25} = -\frac{7}{2812{,}5} \approx -0{,}00249$$

Volumet som omdreiningslegeme

Tønnen dannes ved å dreie kurven $r(z)$ om $z$-aksen. Volumet er:

$$V = \pi \int_{-37{,}5}^{37{,}5} \bigl[r(z)\bigr]^2 \, \mathrm{d}z$$

Beregning i GeoGebra CAS

a := -7/2812.5
r(z) := 26 + a*z^2
V := pi * Integral(r(z)^2, z, -37.5, 37.5)

GeoGebra gir $V \approx 145\,561{,}77 \, \mathrm{cm}^3$.

Svar: Volumet av tønnen er $\underline{\underline{V \approx 145\,562 \, \mathrm{cm}^3 \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}}}$.