Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bunnen av boksen: et rektangel med bredde x cm og lengde y cm og to halvsirkler

Tenk deg at du skal lage en boks. Bunnen og toppen av boksen skal være satt sammen av et rektangel og to halvsirkler og ha form som vist på figuren ovenfor. Sideflaten skal stå vinkelrett på topp og bunn. Sett bredden i rektanglet lik $x c m$ , lengden lik $y c m$ og høyden lik $h c m$ .

For hånd

Forklar at volumet $V$ av boksen er gitt ved

V = (π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x \cdot y) \cdot h

Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være 10 cm, og summen av bredden og høyden skal være 5 cm.

For hånd

Forklar at $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$ , og bruk dette til å sette opp et uttrykk for volumet av boksen uttrykt med $x$ .

Krever PC

Bruk graftegner til å bestemme hvor bred boksen må være for at volumet skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?

Fasit

Volumet er grunnflaten ganger høyden, se utledning.

$V (x) = (π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x (10 - x)) (5 - x)$

Bredde $x \approx 2,43 cm$ , størst volum $V \approx 59,19 {cm}^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Bunnen (og toppen) av boksen består av et rektangel med bredde $x cm$ og lengde $y cm$ , og to halvsirkler med diameter $x cm$ i hver ende. De to halvsirklene setter vi sammen til én hel sirkel med radius $\frac{x}{2} cm$ .

Arealet av grunnflaten (bunnen) blir dermed

G = π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x \cdot y

der første ledd er arealet av sirkelen og andre ledd er arealet av rektanglet.

Volumet av en boks (et prisme) er alltid grunnflate ganger høyde, så siden sideflatene står vinkelrett på topp og bunn med høyde $h cm$ , blir volumet

V = (π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x \cdot y) \cdot h

Vi vet at summen av lengden og bredden i rektanglet er $10 cm$ :

x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x

Vi vet også at summen av bredden og høyden er $5 cm$ :

x + h = 5 \Rightarrow h = 5 - x

Vi setter $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$ inn i volumformelen fra a):

V (x) = (π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x (10 - x)) (5 - x)

Her må $x$ være mellom $0$ og $5$ , siden både $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$ må være positive tall (og $h = 5 - x > 0$ er den strengeste betingelsen).

Vi tegner grafen til $V (x)$ i GeoGebra for $0 < x < 5$ og finner toppunktet med kommandoen Extremum:

Volumfunksjonen V(x) med toppunkt

Toppunktet på grafen er $(2,43, 59,19)$ . Det betyr at boksen får størst volum når bredden er

x \approx 2,43 cm

og det største volumet er da

V \approx 59,19 {cm}^{3}

Oppgavedata

Hentet fra: 2P V2015, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Volum, Optimering, Modellering, Funksjoner

Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum

Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer