Vivianis setning og bevis med areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den italienske matematikeren Vincenzo Viviani (1622–1703) har fått følgende setning i geometrien oppkalt etter seg:

Et punkt $P$ plasseres vilkårlig inne i en likesidet trekant $A B C$ . Da er summen av avstandene fra $P$ til hver av trekantens sider lik høyden i trekanten.

Tegn en figur, sett på aktuelle symboler (bokstaver) og formuler Vivianis setning med matematiske symboler.

Skriv arealet av trekanten på to forskjellige måter, og bruk dette til å bevise Vivianis setning.

Fasit

$d_{1} + d_{2} + d_{3} = h$

Se bevis i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller den likesidede trekanten $A B C$ , og lar $P$ være et vilkårlig punkt inni trekanten. Fra $P$ trekker vi normaler (vinkelrett linje) ned på hver av de tre sidene, og kaller lengdene av disse normalene $d_{1}$ (avstand til $B C$ ), $d_{2}$ (avstand til $A C$ ) og $d_{3}$ (avstand til $A B$ ). Vi lar $h$ være høyden i den likesidede trekanten (avstanden fra ett hjørne ned til motstående side).

Vivianis setning kan da formuleres slik:

d_{1} + d_{2} + d_{3} = h

for ethvert valg av punkt $P$ inne i trekanten.

Vi kaller sidelengden i den likesidede trekanten $a$ .

Areal på første måte. Arealet av hele trekanten $A B C$ er gitt ved den vanlige arealformelen med grunnlinje og høyde:

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

Areal på andre måte. Vi trekker linjestykkene $P A$ , $P B$ og $P C$ fra $P$ til de tre hjørnene. Dette deler trekant $A B C$ i tre mindre trekanter: $P B C$ , $P C A$ og $P A B$ . Hver av disse har en side i den store trekanten som grunnlinje (lengde $a$ , siden trekanten er likesidet), og høyden ned på denne grunnlinjen er nettopp avstanden fra $P$ til den aktuelle siden:

T_{P B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{1}, T_{P C A} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{2}, T_{P A B} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{3}

Summen av arealene til de tre små trekantene er lik arealet av hele trekanten $A B C$ :

T_{A B C} = T_{P B C} + T_{P C A} + T_{P A B} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{1} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{2} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (d_{1} + d_{2} + d_{3})

Sammenligning. Vi har nå uttrykt arealet av $A B C$ på to måter, og setter dem lik hverandre:

\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (d_{1} + d_{2} + d_{3})

Siden $a \neq 0$ , kan vi dele på $\frac{1}{2} a$ på begge sider:

h = d_{1} + d_{2} + d_{3} ■

Siden $P$ var et vilkårlig valgt punkt inne i trekanten, gjelder dette uansett hvor $P$ plasseres. Dette beviser Vivianis setning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2009, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Bevis, Areal og omkrets

Vivianis setning og bevis med areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vivianis setning og bevis med areal

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vivianis setning og bevis med areal

Vivianis setning og bevis med areal

Lov på eksamen

Temaer