Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Arnt har fått en sykdom og må ta en tablett som inneholder 100 mg av et virkestoff.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = 100 \cdot e^{- 0,012 t}

er en modell for hvor mye av tablettens virkestoff som er igjen i kroppen $t$ timer etter at han tok den.

Kalkulator

Hvor mye virkestoff er igjen i kroppen 24 timer etter at han tok en tablett?

Arnt tar en tablett hver morgen klokken åtte.

La $g$ være en funksjon som beskriver mengden virkestoff han har i kroppen $t$ timer etter at han tok den første tabletten.

For hånd

Avgjør om $g$ er en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

Kalkulator

Hvor mye virkestoff har Arnt i kroppen like før han tar den sjette tabletten?

Kalkulator

Hva er den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen dersom han tar én tablett i døgnet over lang tid?

Fasit

$f (24) \approx 75,0$ mg

$g$ er ikke kontinuerlig fordi mengden hopper med 100 mg ved hvert tablettinntak.

$\approx 228,6$ mg

$\approx 299,6$ mg

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 24$ inn i $f (t) = 100 \cdot e^{- 0,012 t}$ :

f (24) = 100 \cdot e^{- 0,012 \cdot 24} = 100 \cdot e^{- 0,288} \approx 75,0 mg

Det er igjen omtrent 75,0 mg virkestoff i kroppen etter 24 timer.

$g$ er ikke en kontinuerlig funksjon.

Rett før Arnt tar den andre tabletten (like før $t = 24$ ) er mengden virkestoff $f (24) \approx 75,0$ mg. I det han tar tabletten hopper mengden plutselig opp med 100 mg, til ca. 175 mg. Tilsvarende sprang skjer ved $t = 48, 72, 96, \dots$

Fordi $g$ har slike sprang ved hvert tablettinntak, er $g$ ikke kontinuerlig.

Like før Arnt tar den sjette tabletten har det gått 24 timer siden den femte tabletten, 48 timer siden den fjerde, og så videre. Vi lar $k = e^{- 0,012 \cdot 24} = e^{- 0,288}$ betegne kvotienten.

Bidraget fra hver tablett like før sjette inntak:

Tablett	Timer siden inntak	Rest i kroppen
1	120 t	$100 k^{5}$
2	96 t	$100 k^{4}$
3	72 t	$100 k^{3}$
4	48 t	$100 k^{2}$
5	24 t	$100 k$

Totalt er dette en geometrisk rekke med fem ledd, første ledd $100 k$ og kvotient $k$ :

S_{5} = 100 k + 100 k^{2} + 100 k^{3} + 100 k^{4} + 100 k^{5} = 100 k \cdot \frac{1 - k^{5}}{1 - k}

S_{5} = 100 \cdot e^{- 0,288} \cdot \frac{1 - e^{- 1,44}}{1 - e^{- 0,288}} \approx 74,976 \cdot \frac{1 - 0,2369}{0,2502} \approx 228,6 mg

Like før den sjette tabletten har Arnt omtrent 228,6 mg virkestoff i kroppen.

På lang sikt, like før den $n$ -te tabletten, er mengden virkestoff:

S_{n - 1} = 100 k + 100 k^{2} + \dots + 100 k^{n - 1} = 100 k \cdot \frac{1 - k^{n - 1}}{1 - k}

Siden $0 < k = e^{- 0,288} \approx 0,7498 < 1$ , går $k^{n - 1} \to 0$ når $n \to \infty$ . Grenseverdien er:

S = \frac{100 k}{1 - k} = \frac{100 \cdot e^{- 0,288}}{1 - e^{- 0,288}} \approx \frac{74,976}{0,2502} \approx 299,6 mg

Den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen på lang sikt er omtrent 299,6 mg.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer