Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Arnt har fått en sykdom og må ta en tablett som inneholder 100 mg av et virkestoff.

Funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = 100 \cdot e^{-0{,}012t}

er en modell for hvor mye av tablettens virkestoff som er igjen i kroppen $t$ timer etter at han tok den.

Hvor mye virkestoff er igjen i kroppen 24 timer etter at han tok en tablett?

Arnt tar en tablett hver morgen klokken åtte.

La $g$ være en funksjon som beskriver mengden virkestoff han har i kroppen $t$ timer etter at han tok den første tabletten.

Avgjør om $g$ er en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

Hvor mye virkestoff har Arnt i kroppen like før han tar den sjette tabletten?

Hva er den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen dersom han tar én tablett i døgnet over lang tid?

Fasit

$f(24) \approx 75{,}0$ mg

$g$ er ikke kontinuerlig fordi mengden hopper med 100 mg ved hvert tablettinntak.

$\approx 228{,}6$ mg

$\approx 299{,}6$ mg

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 24$ inn i $f(t) = 100 \cdot e^{-0{,}012t}$ :

f(24) = 100 \cdot e^{-0{,}012 \cdot 24} = 100 \cdot e^{-0{,}288} \approx 75{,}0 \text{ mg}

Det er igjen omtrent 75,0 mg virkestoff i kroppen etter 24 timer.

$g$ er ikke en kontinuerlig funksjon.

Rett før Arnt tar den andre tabletten (like før $t = 24$ ) er mengden virkestoff $f(24) \approx 75{,}0$ mg. I det han tar tabletten hopper mengden plutselig opp med 100 mg, til ca. 175 mg. Tilsvarende sprang skjer ved $t = 48, 72, 96, \ldots$

Fordi $g$ har slike sprang ved hvert tablettinntak, er $g$ ikke kontinuerlig.

Like før Arnt tar den sjette tabletten har det gått 24 timer siden den femte tabletten, 48 timer siden den fjerde, og så videre. Vi lar $k = e^{-0{,}012 \cdot 24} = e^{-0{,}288}$ betegne kvotienten.

Bidraget fra hver tablett like før sjette inntak:

Tablett	Timer siden inntak	Rest i kroppen
1	120 t	$100k^5$
2	96 t	$100k^4$
3	72 t	$100k^3$
4	48 t	$100k^2$
5	24 t	$100k$

Totalt er dette en geometrisk rekke med fem ledd, første ledd $100k$ og kvotient $k$ :

S_5 = 100k + 100k^2 + 100k^3 + 100k^4 + 100k^5 = 100k \cdot \frac{1 - k^5}{1 - k}

S_5 = 100 \cdot e^{-0{,}288} \cdot \frac{1 - e^{-1{,}44}}{1 - e^{-0{,}288}} \approx 74{,}976 \cdot \frac{1 - 0{,}2369}{0{,}2502} \approx 228{,}6 \text{ mg}

Like før den sjette tabletten har Arnt omtrent 228,6 mg virkestoff i kroppen.

På lang sikt, like før den $n$ -te tabletten, er mengden virkestoff:

S_{n-1} = 100k + 100k^2 + \cdots + 100k^{n-1} = 100k \cdot \frac{1 - k^{n-1}}{1 - k}

Siden $0 < k = e^{-0{,}288} \approx 0{,}7498 < 1$ , går $k^{n-1} \to 0$ når $n \to \infty$ . Grenseverdien er:

S = \frac{100k}{1 - k} = \frac{100 \cdot e^{-0{,}288}}{1 - e^{-0{,}288}} \approx \frac{74{,}976}{0{,}2502} \approx 299{,}6 \text{ mg}

Den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen på lang sikt er omtrent 299,6 mg.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Sync på tvers av enheter

Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave