Vinkler og vinkelrette vektorer

Gitt tre punkt $A(1, 3)$ , $B(4, 0)$ og $C(9, 4)$ .

Bruk vektorregning til å avgjøre om $\angle CBA$ er mindre enn, lik eller større enn $90°$ .

Et punkt $P$ ligger på linjen som går gjennom $B$ og $C$ .

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet $P$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$ .

Fasit

$\angle CBA > 90°$

$P(-26, -24)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene fra $B$ til henholdsvis $A$ og $C$ :

\overrightarrow{BA} = A - B = (1-4,\ 3-0) = (-3, 3)

\overrightarrow{BC} = C - B = (9-4,\ 4-0) = (5, 4)

Vi beregner skalarproduktet:

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 = -15 + 12 = -3

Siden $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0$ , er vinkelen mellom vektorene større enn $90°$ .

$\angle CBA > 90°$

Vi parametriserer linjen gjennom $B$ og $C$ :

P = B + s \cdot \overrightarrow{BC} = (4 + 5s,\ 4s), \quad s \in \mathbb{R}

Vektoren fra $A$ til $P$ blir:

\overrightarrow{AP} = P - A = (4 + 5s - 1,\ 4s - 3) = (3 + 5s,\ 4s - 3)

Vektoren $\overrightarrow{AB}$ :

\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\ 0-3) = (3, -3)

Kravet $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$ betyr at skalarproduktet er null:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} = 0

3(3 + 5s) + (-3)(4s - 3) = 0

9 + 15s - 12s + 9 = 0

3s + 18 = 0

s = -6

Vi setter $s = -6$ inn i parametriseringen:

P = (4 + 5 \cdot (-6),\ 4 \cdot (-6)) = (4 - 30,\ -24) = (-26, -24)

$P = \mathbf{(-26, -24)}$

Oppgavedata

Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet