Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal studere en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ .

Sirkel med sentrum S, radius r, og punkter A, B, C, D der AD=r

På figuren over setter vi $x = ∠ S A D$ og $y = ∠ B S C$ . Du skal vise at det er en sammenheng mellom $x$ og $y$ når $A D = r$ .

For hånd

Forklar at $∠ A S D = x$ .

For hånd

Vis at $∠ S D C = ∠ S C D = 2 x$ .

For hånd

Vis at $y = 3 x$ .

Fasit

Trekant $A S D$ er likebeint fordi $A D = S D = r$ , så $∠ A S D = x$ .

$∠ S D C = ∠ S C D = 2 x$

$y = 3 x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker figuren: $A$ er et ytre punkt, og fra $A$ går det to sekantlinjer inn i sirkelen — den ene gjennom $D$ og $C$ (begge på sirkelen), den andre gjennom sentrum $S$ og $B$ (på sirkelen), slik at $A$ , $S$ og $B$ ligger på én rett linje.

Siden $D$ ligger på sirkelen, er $S D = r$ (radius). Det er også oppgitt at $A D = r$ . Dermed er

A D = S D = r,

så trekant $A S D$ er likebeint med $D$ som toppunkt. I en likebeint trekant er vinklene motstående de like sidene like store. Siden sidene $A D$ og $S D$ er like lange, er vinklene motstående dem — altså $∠ A S D$ (motstående $A D$ ) og $∠ S A D = x$ (motstående $S D$ ) — like store:

∠ A S D = x

Punktene $A$ , $D$ og $C$ ligger på samme rette linje (sekanten fra $A$ ), med $D$ mellom $A$ og $C$ . Dermed er $∠ S D C$ utsidevinkelen til trekant $A S D$ i hjørnet $D$ .

Ifølge setningen om utsidevinkel er utsidevinkelen i en trekant lik summen av de to andre (ikke-tilstøtende) innvendige vinklene. I trekant $A S D$ er disse $∠ S A D = x$ og $∠ A S D = x$ (fra a)), så

∠ S D C = ∠ S A D + ∠ A S D = x + x = 2 x .

Videre er $D$ og $C$ begge punkter på sirkelen, så $S D = S C = r$ . Trekant $S D C$ er dermed også likebeint, nå med $S$ som toppunkt, og grunnvinklene $∠ S D C$ og $∠ S C D$ (motstående de like sidene $S C$ og $S D$ ) er derfor like store:

∠ S D C = ∠ S C D = 2 x

I trekant $S D C$ er vinkelsummen $180 °$ , så

∠ D S C = 180 ° - ∠ S D C - ∠ S C D = 180 ° - 2 x - 2 x = 180 ° - 4 x .

Siden $A$ , $S$ og $B$ ligger på samme rette linje, er $∠ A S B = 180 °$ . Strålene $S D$ og $S C$ ligger begge mellom $S A$ og $S B$ (se figuren), så

∠ A S D + ∠ D S C + ∠ C S B = ∠ A S B = 180 ° .

Vi setter inn $∠ A S D = x$ (fra a)), $∠ D S C = 180 ° - 4 x$ og $∠ C S B = y$ :

x + (180 ° - 4 x) + y = 180 °

y = 180 ° - 180 ° + 4 x - x

y = 3 x

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2010, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis, Argumentasjon

Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer