Vi setter $x=30$ (år 2010 er 30 år etter 1980):

GeoGebra CAS gir $f(30)\approx 4987$.

Ifølge modellen ble det felt omtrent $\underline{\underline{4987\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$ i 2010.

Vi deriverer $f(x)={\displaystyle \frac{13132}{1+\mathrm{0,20}\cdot e^{\mathrm{0,07}x}}}$ med kvotientregelen. La $u(x)=1+\mathrm{0,20}\cdot e^{\mathrm{0,07}x}$, slik at $u^{\prime }(x)=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,07}\cdot e^{\mathrm{0,07}x}=\mathrm{0,014}\cdot e^{\mathrm{0,07}x}$.

Vi ser at:

• Teller: $13132\cdot \mathrm{0,014}\cdot e^{\mathrm{0,07}x}>0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
• Nevner: ${(1+\mathrm{0,20}\cdot e^{\mathrm{0,07}x})}^2>0$ for alle $x$.

Dermed er $f^{\prime }(x)<0$ for alle $x$, og $f$ er strengt avtagende. Det felles altså stadig færre dyr hvert år.

GeoGebra CAS bekrefter (se linje 2 i utklippet under):

Vi løser $f^{\prime \prime }(x)=0$. For en funksjon på formen

kan en vise at $f^{\prime \prime }(x)=0$ når $B\cdot e^{kx}=1$, dvs.

Med $B=\mathrm{0,20}$ og $k=\mathrm{0,07}$:

Funksjonsverdi i vendepunktet:

GeoGebra CAS gir vendepunktet $(\mathrm{22,99};6566)$ (linje 4 i utklippet).

Vendepunktet er omtrent $(23;6566)$, som tilsvarer år $1980+23=2003$. I dette punktet skifter $f^{\prime \prime }$ fortegn fra negativ til positiv: kurven er konkav (bøyd nedover) for $x<23$ og konveks (bøyd oppover) for $x>23$. Biologisk betyr det at nedgangen i antall felte villrein var størst rundt år 2003 – etter 2003 avtar nedgangen gradvis.

Graf

Grafen viser en avtagende funksjon. Vendepunktet (rød punkt) er markert ved $x\approx 23$, $f\approx 6566$.

Totalt antall villrein felt 1980–2010

Vi beregner det bestemte integralet fra $x=0$ (1980) til $x=30$ (2010):

GeoGebra CAS (linje 5 i utklippet) gir:

Ifølge modellen ble det totalt felt omtrent $\underline{\underline{246527\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$ i perioden 1980–2010.