Venstrehendte elever

Undersøkelser viser at 10 prosent av alle menn og 8 prosent av alle kvinner er venstrehendte.

På en skole er det 280 gutter og 220 jenter.

Bestem sannsynligheten for at minst 25 av guttene på skolen er venstrehendte.

Hvor mange gutter må det være i en klasse dersom sannsynligheten for at minst tre av guttene er venstrehendte, skal være større enn 20 prosent?

I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter.

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av elevene i klassen er venstrehendte.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \geq 25) \approx 0{,}7528}}$

Minste antall gutter: $\underline{\underline{n = 16}}$

$\underline{\underline{P(G + J = 3) \approx 0{,}2309}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynlighetene.

GeoGebra CAS – binomiske sannsynligheter

La $X$ = antall venstrehendte gutter på skolen. $X$ er binomisk fordelt med $n = 280$ og $p = 0{,}10$ .

Begrunnelse: Det er 280 gutter (uavhengige forsøk), to mulige utfall (venstrehendt / ikke venstrehendt), og fast sannsynlighet $p = 0{,}10$ for hvert forsøk.

Vi ønsker $P(X \geq 25)$ :

P(X \geq 25) = 1 - P(X \leq 24)

I GeoGebra CAS:

\texttt{1 - FordelingBinomial(280, 0.10, 24)}

$P(X \geq 25) \approx \underline{\underline{0{,}7528}}$

La $Y$ = antall venstrehendte gutter i en klasse med $n$ gutter. $Y$ er binomisk fordelt med $p = 0{,}10$ .

Vi søker minste $n$ slik at $P(Y \geq 3) > 0{,}20$ :

P(Y \geq 3) = 1 - P(Y \leq 2) > 0{,}20

Vi prøver ulike verdier av $n$ i GeoGebra CAS med 1 - FordelingBinomial(n, 0.10, 2):

$n$	$P(Y \geq 3)$
15	$\approx 0{,}1841$
16	$\approx 0{,}2108$

For $n = 15$ er sannsynligheten $0{,}1841 < 0{,}20$ , mens for $n = 16$ er den $0{,}2108 > 0{,}20$ .

Det må være minst $\underline{\underline{16 \text{ gutter}}}$ i klassen.

La $G$ = antall venstrehendte gutter i klassen, og $J$ = antall venstrehendte jenter i klassen.

$G$ er binomisk fordelt med $n = 13$ og $p = 0{,}10$
$J$ er binomisk fordelt med $n = 17$ og $p = 0{,}08$
$G$ og $J$ er uavhengige

Vi vil finne $P(G + J = 3)$ . Vi summerer over alle mulige fordeling av de 3 venstrehendte på gutter og jenter:

P(G + J = 3) = \sum_{g=0}^{3} P(G = g) \cdot P(J = 3 - g)

= P(G=0) \cdot P(J=3) + P(G=1) \cdot P(J=2) + P(G=2) \cdot P(J=1) + P(G=3) \cdot P(J=0)

I GeoGebra CAS:

\texttt{Sum(Binomial(13,k) \cdot 0.1\^{}k \cdot 0.9\^{}(13-k) \cdot Binomial(17,3-k) \cdot 0.08\^{}(3-k) \cdot 0.92\^{}(14+k), k, 0, 3)}

\approx 0{,}23088

$P(G + J = 3) \approx \underline{\underline{0{,}2309}}$

Sensorveiledning

2 poeng

Det kan gis 1 poeng hvis de finner høyst 25 gutter, eller akkurat 25 gutter.

2 poeng

Både 16 gutter og minst 16 gutter godtas som rett svar. Det kan gis full uttelling uten å kommunisere at 15 ikke er mange nok.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

Finner kandidaten én spesifikk kombinasjon av gutter og jenter kan dette gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: sannsynlighet, diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene