Vektorer ortogonalitet og linearkombinasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{a} = [2, 3]$ , $\vec{b} = [- 6, 4]$ og $\vec{c} = [3, 11]$ er gitt.

Undersøk om $\vec{a} ⟂ \vec{b}$

Bestem ved regning to tall $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k \vec{a} + t \vec{b}$

Fasit

$\vec{a} ⟂ \vec{b}$

$k = 3$ , $t = \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

To vektorer står normalt på hverandre hvis prikkproduktet er null. Vi regner ut $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (- 6) + 3 \cdot 4 = - 12 + 12 = 0

Siden $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , er $\vec{a} ⟂ \vec{b}$ .

Vi skal bestemme $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k \vec{a} + t \vec{b}$ , altså

[3, 11] = k \cdot [2, 3] + t \cdot [- 6, 4]

Dette gir likningssystemet

{\begin{matrix} 2 k - 6 t = 3 \\ 3 k + 4 t = 11 \end{matrix}

Fra den første likningen løser vi for $k$ :

2 k = 3 + 6 t \Rightarrow k = \frac{3 + 6 t}{2}

Vi setter dette inn i den andre likningen:

3 \cdot \frac{3 + 6 t}{2} + 4 t = 11

\frac{9 + 18 t}{2} + 4 t = 11

Vi ganger begge sider med $2$ :

9 + 18 t + 8 t = 22

26 t = 13

t = \frac{1}{2}

Vi setter $t = \frac{1}{2}$ inn igjen for å finne $k$ :

k = \frac{3 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = 3

Kontroll: $2 \cdot 3 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 - 3 = 3$ og $3 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 2 = 11$ , som stemmer.

Dermed er $k = 3 og t = \frac{1}{2}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt

Innstillinger