Vektorer og sirkel med diameter AB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 3)$ og $B (5, - 1)$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $| \vec{A B} |$ .

Bestem en likning for sirkelen som har $A B$ som diameter.

Et punkt $C$ ligger på linjen $x = 6$ .

Avgjør om det er mulig å plassere $C$ slik at trekanten $A B C$ får en rett vinkel i $C$ .

Fasit

$\vec{A B} = (4, - 4), | \vec{A B} | = 4 \sqrt{2}$

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$

$Nei, det er ikke mulig$

LøsningsforslagKI-generert

Vektoren $\vec{A B}$ finner vi ved å trekke koordinatene til $A$ fra koordinatene til $B$ :

\vec{A B} = B - A = (5 - 1, - 1 - 3) = (4, - 4)

Lengden av vektoren:

| \vec{A B} | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}

Når $A B$ er diameter i sirkelen, er sentrum $S$ i sirkelen midtpunktet på $A B$ , og radien er halvparten av $| \vec{A B} |$ .

S = (\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + (- 1)}{2}) = (3, 1)

r = \frac{| \vec{A B} |}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow r^{2} = 8

Likningen for sirkelen blir:

{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8

Ifølge Thales’ setning ligger $C$ slik at trekanten $A B C$ har rett vinkel i $C$ hvis og bare hvis $C$ ligger på sirkelen med $A B$ som diameter, altså sirkelen fra b).

Punktet $C$ ligger på linjen $x = 6$ . Vi sjekker om denne linjen skjærer sirkelen ved å regne ut avstanden fra sentrum $S (3,1)$ til linjen:

d = | 6 - 3 | = 3

Radien i sirkelen er $r = 2 \sqrt{2} \approx 2,83$ . Siden $d = 3 > r = 2 \sqrt{2}$ , ligger linjen $x = 6$ helt utenfor sirkelen, og den skjærer den derfor ikke.

Det er ikke mulig å plassere $C$ på linjen $x = 6$ slik at trekanten $A B C$ får en rett vinkel i $C$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2019, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Sirkel, Geometri

Vektorer og sirkel med diameter AB

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer og sirkel med diameter AB

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer og sirkel med diameter AB

Vektorer og sirkel med diameter AB

Lov på eksamen

Temaer