Vektorer og basketball

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J(0,0)$ , Nils befinner seg i punktet $N(-1,2)$ , og Ahmad befinner seg i punktet $A(1,1)$ . Enheten langs aksene er meter.

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(-1, a)$ , der $a \in \mathbb{R}$ . Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Bestem $a$ .

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$ . $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $\angle MAJ$ , er 90 grader.

Bestem koordinatene til $M$ .

Fasit

$\underline{\underline{|NA| = \sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$

$\underline{\underline{M = (-1,\, 3)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektoren $\overrightarrow{NA}$ fra $N(-1, 2)$ til $A(1, 1)$ :

\overrightarrow{NA} = A - N = (1-(-1),\ 1-2) = (2,\ -1)

Lengden er

|NA| = |\overrightarrow{NA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \textbf{$\underline{\underline{\sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$}

Vektoren fra Jelena $J(0, 0)$ til ballen $B(-1, a)$ er

\overrightarrow{JB} = (-1-0,\ a-0) = (-1,\ a)

To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).

\overrightarrow{JB} \parallel \overrightarrow{NA} \iff (-1)\cdot(-1) - 2\cdot a = 0

1 - 2a = 0 \implies \textbf{$\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$}

Alternativt: $\overrightarrow{JB} = k \cdot \overrightarrow{NA}$ gir $-1 = 2k$ , altså $k = -\tfrac{1}{2}$ , og da $a = k \cdot (-1) = \tfrac{1}{2}$ .

Vi har to krav til punktet $M$ :

Avstand $JM = \sqrt{10}$ : $M$ ligger på sirkelen $x^2 + y^2 = 10$ .
Vinkel $\angle MAJ = 90°$ : $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{AJ}$ .

Vi finner $\overrightarrow{AJ}$ fra $A(1,1)$ til $J(0,0)$ :

\overrightarrow{AJ} = J - A = (-1,\ -1)

En vektor vinkelrett på $(-1, -1)$ har retning $(1, -1)$ (roter 90°). Vi skriver

\overrightarrow{AM} = k(1,\ -1), \quad k \in \mathbb{R}

Da er

M = A + \overrightarrow{AM} = (1+k,\ 1-k)

Krav 1 gir:

(1+k)^2 + (1-k)^2 = 10

1 + 2k + k^2 + 1 - 2k + k^2 = 10

2 + 2k^2 = 10 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2

Dette gir to kandidater:

$k = 2$ : $M_1 = (3,\ -1)$
$k = -2$ : $M_2 = (-1,\ 3)$

Nils befant seg opprinnelig i $N(-1, 2)$ . Vi velger det nærmeste punktet til $N$ :

|NM_1| = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \, \mathrm{m}

|NM_2| = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{0+1} = 1 \, \mathrm{m}

Det nærmeste punktet er $M_2$ :

\textbf{$\underline{\underline{M = (-1,\ 3)}}$}

Sensorveiledning

1,7 poeng

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng. Kandidater som har feil vektor, men regner lengde riktig, kan få 1 poeng.

1,7 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1,7 poeng

Kandidater som setter opp likningssettet riktig kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet