Vektorer og basketball

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J (0,0)$ , Nils befinner seg i punktet $N (- 1,2)$ , og Ahmad befinner seg i punktet $A (1,1)$ . Enheten langs aksene er meter.

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(- 1, a)$ , der $a \in ℝ$ . Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Bestem $a$ .

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$ . $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $∠ M A J$ , er 90 grader.

Bestem koordinatene til $M$ .

Fasit

$| N A | = \sqrt{5} m$

$a = \frac{1}{2}$

$M = (- 1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektoren $\vec{N A}$ fra $N (- 1, 2)$ til $A (1, 1)$ :

\vec{N A} = A - N = (1 - (- 1), 1 - 2) = (2, - 1)

Lengden er

| N A | = | \vec{N A} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{𝟓} 𝐦

Vektoren fra Jelena $J (0, 0)$ til ballen $B (- 1, a)$ er

\vec{J B} = (- 1 - 0, a - 0) = (- 1, a)

To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).

\vec{J B} ∥ \vec{N A} ⟺ (- 1) \cdot (- 1) - 2 \cdot a = 0

1 - 2 a = 0 ⟹ 𝐚 = \frac{𝟏}{𝟐}

Alternativt: $\vec{J B} = k \cdot \vec{N A}$ gir $- 1 = 2 k$ , altså $k = - \frac{1}{2}$ , og da $a = k \cdot (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Vi har to krav til punktet $M$ :

Avstand $J M = \sqrt{10}$ : $M$ ligger på sirkelen $x^{2} + y^{2} = 10$ .
Vinkel $∠ M A J = 90 °$ : $\vec{A M} ⟂ \vec{A J}$ .

Vi finner $\vec{A J}$ fra $A (1,1)$ til $J (0,0)$ :

\vec{A J} = J - A = (- 1, - 1)

En vektor vinkelrett på $(- 1, - 1)$ har retning $(1, - 1)$ (roter 90°). Vi skriver

\vec{A M} = k (1, - 1), k \in ℝ

Da er

M = A + \vec{A M} = (1 + k, 1 - k)

Krav 1 gir:

{(1 + k)}^{2} + {(1 - k)}^{2} = 10

1 + 2 k + k^{2} + 1 - 2 k + k^{2} = 10

2 + 2 k^{2} = 10 ⟹ k^{2} = 4 ⟹ k = \pm 2

Dette gir to kandidater:

$k = 2$ : $M_{1} = (3, - 1)$
$k = - 2$ : $M_{2} = (- 1, 3)$

Nils befant seg opprinnelig i $N (- 1, 2)$ . Vi velger det nærmeste punktet til $N$ :

| N M_{1} | = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5 m

| N M_{2} | = \sqrt{{(- 1 - (- 1))}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{0 + 1} = 1 m

Det nærmeste punktet er $M_{2}$ :

𝐌 = (- 𝟏, 𝟑)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng. Kandidater som har feil vektor, men regner lengde riktig, kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Kandidater som setter opp likningssettet riktig kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Vektorer og basketball

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer og basketball

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer og basketball

Vektorer og basketball

Lov på eksamen

Temaer