a) Lengden av $\vec{u}$ og $\vec{v}$

Vi bruker at $|\vec{w}|^2 = \vec{w} \cdot \vec{w}$.

Lengden av $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$:

$$|\vec{u}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$$ $$|\vec{u}|^2 = 2^2 + 2 \cdot (-3) + 3^2 = 4 - 6 + 9 = 7$$ $$|\vec{u}| = \sqrt{7}$$

Lengden av $\vec{v} = \vec{a} - 6\vec{b}$:

$$|\vec{v}|^2 = (\vec{a}-6\vec{b}) \cdot (\vec{a}-6\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 12\,\vec{a}\cdot\vec{b} + 36|\vec{b}|^2$$ $$|\vec{v}|^2 = 2^2 - 12 \cdot (-3) + 36 \cdot 3^2 = 4 + 36 + 324 = 364$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$

b) Vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$

Vi bruker formelen $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$.

Først regner vi ut prikkproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-6\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 6\,\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 6|\vec{b}|^2$$ $$= |\vec{a}|^2 - 5\,\vec{a}\cdot\vec{b} - 6|\vec{b}|^2$$ $$= 4 - 5 \cdot (-3) - 6 \cdot 9 = 4 + 15 - 54 = -35$$

Deretter setter vi inn i vinkelformelen:

$$\cos\theta = \frac{-35}{\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{91}} = \frac{-35}{2\sqrt{637}} = \frac{-35}{2 \cdot 7\sqrt{13}} = \frac{-5}{2\sqrt{13}}$$ $$\theta = \arccos\!\left(\frac{-5}{2\sqrt{13}}\right) \approx 134°$$